Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

Но не вполне. О возникшем противоречии написала статью [KOL] Джина Колата. Цитируя работу Миллера и Рабина, она высказала предположение, что если бы мы приняли вероятностные доказательства, то идеи таких работ стали бы более доступными и прозрачными, а противоречия вроде описанного не возникали бы. Тему продолжила газета New York Times, где была опубликована редакционная статья о том, что математические доказательства столь длинны и сложны, что никто больше их не понимает (и это невзирая на тот факт, что доказательство Цалера заняло всего-то 13 страниц!). История закончилась тем, что Цалер сам написал письмо редактору «Таймс» (оно было опубликовано), исправив фактические ошибки и заявив, что этот опыт так его раздражает, что он оставляет профессорскую кафедру в Ратгерском университете и переходит в медицинскую школу.

Теория гомотопий

Топологию обычно с некоторым преувеличением называют «резиновой геометрией». Топология имеет дело с теми свойствами геометрических объектов, которые не меняются, когда объект подвергается растяжению или деформации. Теория гомотопий изучает способы обнаружения в геометрических объектах дыр различных размерностей. Размер и сложность этих дыр измеряются с помощью специальных алгебраических конструкций. Надо понимать, что дыра внутри окружности отличается, например, от дыры внутри сферы. И обе они, в свою очередь, отличаются от дыры в спасательном круге (торе).

Математика (по традиции) обладает особым видом незыблемости, не присущим другим наукам[20]. Математика целиком и полностью живет внутри аналитической системы, созданной человеком. Созданной так, что она надежна, ее результаты воспроизводимы и переносимы в другие области так, как это и не снилось другим наукам[21].

Одна из неотразимых черт математического доказательства — его притягательная, можно даже сказать, наркотическая природа. Биограф Джон Обри рассказывает о том, как философ Томас Гоббс (1588–1679) впервые столкнулся с этим явлением:

Ему было уже 40 лет, когда он впервые познал геометрию. Произошло это случайно. Будучи в библиотеке одного джентльмена, где лежали «Элементы» Евклида, открытые на 47 El. libri I, он прочитал утверждение. «О Боже, — воскликнул он (время от времени он позволял себе такие слова для выразительности), — этого не может быть!» Итак, он прочел доказательство, которое ссылалось на другое утверждение, и с ним он ознакомился тоже. Там была отсылка еще далее, и он прочитал и то утверждение. Et sic deinceps, в конце концов, он доказательно убедился в истинности. Так он полюбил геометрию.

Гоббс оказался так увлечен математикой, что он принял математическую методологию в своей философии. Он пытался сформулировать математическую теорию этики, чтобы моральный выбор можно было сделать, решив уравнение. Попытка оказалась менее чем успешной.

Еще одна особенность математики в ее вневременности. Теоремы, которые тысячи лет назад доказали Евклид и Пифагор, до сих пор верны. Мы пользуемся ими с уверенностью, поскольку знаем, что они так же верны сейчас, как верны были тогда, когда впервые их открыли великие мастера. В других науках все иначе. К медицинской или компьютерной литературе даже трехлетней давности обращаются редко, так как то, что казалось верным всего несколько лет назад, уже изменилось и преобразовалось. А математика с нами всегда. Поразительнее всего то, что, несмотря на кажущуюся искусственность процесса, математика дает прекрасные модели различных явлений (этот вопрос обсуждается в элегантном эссе [WIG]). Снова и снова, и с каждым годом все больше, математика помогает объяснять, как устроен мир вокруг нас. Достаточно нескольких примеров.

• Исаак Ньютон вывел три закона Кеплера движения планет, пользуясь одним только своим универсальным законом притяжения и анализом.

• Существует полная математическая теория преломления света (созданная Исааком Ньютоном, Уилбордом Снеллом и Пьером Ферма).

• Существует математическая теория распространения тепла.

• Существует математическая теория электромагнитных волн.

• Вся классическая теория поля из физики формулируется в математических терминах.

• Для анализа Эйнштейновских уравнений поля тоже используется математика.

• Движение падающих тел и снарядов полностью анализируется математическими методами.

• Технология обнаружения подводных лодок с использованием радаров и звуковых волн полностью основана на математике.