Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

Компьютеры глубоко вошли во все области современной жизни. Как мы видели в предыдущем разделе, отцом современных компьютерных разработок считают математика Джона фон Неймана. Он работал вместе с Германом Голдстином, тоже математиком. В наши дни практически все математики используют компьютеры для работы с электронной почтой, для написания статей и книг и размещения материалов в Интернете. Значительное число (все же заметно меньше половины) математиков используют компьютер для проведения экспериментов. Они находят численные решения дифференциальных уравнений, итерируют данные для динамических систем и дифференциальных уравнений, выполняют исследование операций, занимаются проверкой вопросов теории управления, вычисляют неприводимые унитарные представления групп Ли, вычисляют L-функции в аналитической теории чисел и занимаются многими другими вещами. Но подавляющее большинство (академических) математиков, в конце концов, вооружаются ручкой и записывают доказательство. А потом его публикуют.

Дизайн современного компьютера основан на математических идеях — машине Тьюринга, теории кодирования, теории очередей, двоичных чисел и операций, языках программирования и так далее. Операционные системы, компьютерные языки высокого уровня (такие как Fortran, C++, Java), дизайн центральных процессоров (CPU), чипов памяти, управление памятью и многие другие составляющие компьютерного мира основаны на математике. Компьютерный мир — эффективное и важное воплощение математической теории, которая развивалась на протяжении 2500 лет. Но компьютер — не математика. Это приспособление для манипулирования данными.

Все же под влиянием компьютеров возникли восхитительные новые идеи, и теперь математику практикуют несколько иначе. Мы знаем, что ранние компьютеры занимались только арифметикой. Постепенно, со временем, получила распространение идея, что компьютеры могут выполнять другие рутинные действия. В конце концов, благодаря работам фон Неймана развилось понятие программируемого компьютера. В 1960 гг. группа ученых из MIT, считавших, что компьютер может выполнять вычисления высшей алгебры, геометрии и анализа, разработала программный продукт под названием Macsyma. Его можно было устанавливать только на очень мощном компьютере, а язык программирования для него был сложным и трудным.

Благодаря Стивену Вольфраму (р. 1959)[87] группе Maple из университета Ватерлоо[88], группе MathWorks из Натика, штат Массачусетс[89] и многим другим, у нас есть системы компьютерной алгебры. Это компьютерные языки высокого уровня, которые могут решать задачи анализа, дифференциальные уравнения, выполнять сложные алгебраические преобразования. И эти программные продукты предназначены для персонального компьютера! Очень многие математики, инженеры, ученые выполняют исследования высокого уровня, используя такое программное обеспечение. В многих диссертациях представлены результаты, полученные с использованием систем Mathematica, Maple или MATLAB. Подробнее о системах компьютерной алгебры мы расскажем в разд. 8.2.

Системы компьютерной алгебры

Самые первые компьютеры предназначались для «перемалывания чисел». Машине задавали много-много больших чисел и программировали ее на выполнение самых разных вычислений. Теперешние машины гораздо мощнее: самый обыкновенный персональный компьютер обеспечен гигабайтами памяти и огромным жестким диском. Так что он может манипулировать информацией на гораздо более высоком уровне. В частности, существуют программы, которые решают задачи алгебры матриц, математического анализа, работают с графиками сложных функций и решают дифференциальные уравнения. Компьютеры широко используются для статистического моделирования и для работы с геномом. Постоянно разрабатываются новые графические приспособления, которые позволяют нам видеть то, о чем 20 лет назад было нельзя даже и помыслить. Перед нами открывается новый мир.

Новые средства привели к важным новым открытиям. Стивен Вольфрам использовал программу Mathematica для вычислений, которые были необходимы для построения его новой теории вселенной, представленной в книге A New Kind of Science [WOL] (разд. 10.4).