К проблеме педагогической психологии начального обучения в школе диалога культур

Действительно, именно установка на строгое созерцание формы, а не на практическое действие (измерение) обязана античная математика теорией числа (в отличие от измерения, умения измерять величины при помощи чисел). Вот что пишут об этом современные математики: «Обладание подобной системой (системой нумерации вавилонян, дающей возможность получать любые сколь угодно хорошие приближения действительного числа — И.Б.) и вытекающая отсюда уверенность в числовых расчетах неизбежно приводили к «наивному» понятию действительного числа, почти совпадающему с тем, которое в наши дни можно встретить в элементарных учебниках математики… или у физиков и инженеров. Это понятие не поддается точному определению, но его можно выразить, сказав, что число можно выразить как определенное благодаря возможности получать его приближенные значения и вводить их в вычисления (т. е. как определенное через действие измерение и сравнение величин — И.Б.)… Подобная «прагматическая» точка зрения появляется во всех математических школах, где вычислительное искусство берет верх над заботами о строгости и теоретическими соображениями. В греческой математике, наоборот, господствуют именно эти последние. Ей мы обязаны созданием первой строгой и систематической теории отношений величин, т. е. по существу действительных чисел… Греческая математика с самого возникновения была неразрывно связана частично с научными, частично с философскими и мистическими теориями о пропорциях, подобиях и отношениях, и, в частности, о «простых отношениях» (выражаемых дробями с малыми числителями и знаменателями). Одна из характерных тенденций пифагорейской школы заключалась в том, что она стремилась объяснить все с помощью целых чисел и их отношений (т. е. рассматривала целые числа не как частный случай более общего понятия действительного числа, а как особенное, которое составляет логическую основу понимания всеобщего — И.Б.). Но как раз именно в пифагорейской школе была открыта несоизмеримость стороны квадрата с его диагональю (иррациональность 2); это, несомненно, первый пример доказательства невозможности в математике (из содержательного обобщения действия измерения никак нельзя выйти к проблеме возможности и обоснования невозможности — И.Б.). Уже тот факт, что подобная проблема была поставлена, свидетельствует о четком понимании различия между отношением и его приближенными значениями и достаточно убедительно говорит о том, какая пропасть отделяет греческих математиков от их предшественников.» С пониманием числа (натурального) как конкретной формы связана и теория фигурных чисел пифагорейцев. «Пифагорейцы изображали числа в виде точек, группируемых в геометрические фигуры. так возникло понятие «фигурных чисел», в котором нашла свое отражение тесная связь, существующая между понятиями числа и пространственной протяженностью.» «Идеальная форма вещей, т. е. их сущность в античном понимании, — пишет В.С.Библер, — определяет непосредственное тождество качественно — количественных определений; определяет количество, наглядно, качественно представляемое;» Это тождество качественно — количественных представлений связано с античной проблемой движения как проблемой прерывного и непрерывного, которая выражена, в частности, в апориях Зенона, актуальных и для современной теории.

Итак, свойственное ребенку понимание числа — через конкретную, созерцаемую форму — в интенции близко античной логике. Эту особенность можно проигнорировать при построении обучения методом восхождения, но тогда, как мы видели, она все равно «влезает в окно»; а можно увидеть в ней глубоко культурное (в пределе) явление и попытаться развить ее до античной культуры.