Качественные задачи по физике в средней школе и не только…

Можно дать математически совершенно точный ответ на вопрос, какой формы должна быть идеальная горка, то есть горка, которая быстрее всего приводит из точки A в точку B, однако для этого нужен уже серьезный математический инструментарий. Кривая, которая получается при таком расчете, называется брахистохроной. Она позволяет поставить рекорд в этих соревнованиях – и всем троим поросятам до него еще далеко.

119. Туда и обратно

Поскольку трасса одна и та же и начальная скорость одна и та же, на первый взгляд кажется, что разницы во времени быть не должно.

Однако сопоставим участки AC и ZX. Их длина одинакова, но в первом случае Бильбо съезжает в ямку, его потенциальная энергия уменьшается, а кинетическая энергия и скорость возрастают, а во втором случае – въезжает на горку, так что его потенциальная энергия увеличивается за счет кинетической, так что Бильбо теряет в скорости. Следовательно, середину участка AC он проезжает с большей скоростью, чем середину участка ZX, а в начале и в конце скорость одинакова. При одинаковой длине участков это означает, что на участок AC уходит меньше времени. Этот же вывод справедлив и для следующих участков, в том числе для «половинчатого» финишного (YZ и BA). Значит, путь AZ потребует меньшего времени, чем путь ZA.

120. Когда круто – это не круто

Этот вопрос настолько близок к нашему повседневному опыту, что на него даже трудно дать обстоятельный ответ: понятно же, что чем круче подъем, тем тяжелее на него взбираться!

Попробуем, однако, проанализировать ситуацию на языке физики. Это позволит нам обнаружить некоторые тонкости, незаметные при поверхностном взгляде.

Начнем с энергетического подхода. Двигатель сжигает топливо, получает из топлива энергию и совершает работу. Мощность двигателя (то есть работа, совершаемая в единицу времени) ограничена. Когда автомобиль едет по горизонтальной поверхности с постоянной скоростью, его полная механическая энергия остается постоянной: не меняется ни кинетическая энергия (связанная со скоростью, которая при равномерном движении постоянна), ни потенциальная (связанная с высотой, которая тоже неизменна). Значит, вся совершаемая двигателем механическая работа уходит на преодоление сил сопротивления (сопротивление воздуха, трение качения, взаимное трение частей механизмов и так далее). На подъеме силы сопротивления никуда не исчезают, их по-прежнему необходимо преодолевать, но теперь еще часть работы должна уходить на увеличение потенциальной энергии автомобиля. Вспомним, что по крайней мере часть сил сопротивления зависит от скорости (см. задачу 117), так что мы можем снизить мощность, уходящую на преодоление сопротивление, снизив скорость автомобиля, тогда высвободившуюся мощность можно направить на приращение потенциальной энергии, то есть на набор высоты. Ровно поэтому на подъеме водитель понижает передачу: на более низкой передаче двигатель отдает ту же мощность на меньшей скорости, действуя с большей силой (см. задачу 115).

Но нас ждет подвох с другой стороны – со стороны действующих на автомобиль сил. Вспомним, что автомобиль движется вперед за счет силы трения (см. задачу 33). Максимальная сила трения покоя пропорциональна силе реакции опоры: F = µ N. На горизонтальной поверхности сила реакции опоры уравновешивает полную силу тяжести, действующую на автомобиль, поэтому равна ей по величине. Но на наклонной плоскости сила реакции опоры уравновешивает только ту составляющую силы тяжести, которая перпендикулярна наклонной плоскости.

Это означает, что сила реакции опоры уменьшается по величине, а вместе с ней уменьшается и максимальная сила трения покоя! Значит, с ростом крутизны склона в какой-то момент даже пониженная передача нам не поможет: мы снизим скорость, чтобы увеличить силу, которую развивает двигатель при ограниченной мощности, – но колеса просто начнут проскальзывать, потому что эта сила превысит максимальную силу трения покоя.

Вот почему есть предельная крутизна склона, которую может преодолеть автомобиль.

Впрочем, энергетические соображения подсказывают нам один способ обойти это ограничение: можно разогнать автомобиль перед подъемом, чтобы запасти кинетическую энергию. Это позволит нам не расходовать мощность двигателя на увеличение потенциальной энергии – она прирастет за счет потери кинетической. Поэтому водители стараются перед подъемом разогнать автомобиль.

121. Квадратные колеса

Вопрос выглядит «детским», и первый напрашивающийся ответ: «Потому что круглое колесо катится, а квадратное нет». Попробуем представить себе автомобиль с квадратными колесами. Что произойдет, когда двигатель попробует прокрутить такое «колесо»? Квадрат встанет на одну из вершин, а потом опустится на следующую сторону (рис. 83).

Рис. 83

Значит, квадратное «колесо» в принципе может «крутиться» и позволяет продвигаться вперед. Тогда чем оно нас не устраивает?