Как покупать дешево и продавать дорого: Пособие для разумного инвестора

Например, предположим, что вы совершаете сделки с фьючерсными контрактами. Результаты этих сделок являются случайными и независимыми друг от друга, а вероятность каждого варианта результата равновероятна. Всего возможны три варианта последующего результата сделки: доход (+1), убыток (–1) и нулевой результат (–1). Последний признается убыточным, так как спред, комиссия и другие расходы, связанные со сделкой, оказывают негативное влияние на финансовый результат. Таким образом, вероятность положительного результата равна 33,33, а отрицательного — 66,67. Построим «дерево» биноминального распределения финансовых результатов для четырех сделок подряд (рис. П.13).

Рис. П.13. Четыре итерации биноминального распределения

Для определения вероятности успеха при биноминальном распределении необходимо сначала рассчитать число комбинаций исходов j в выборке из n вариантов по следующей формуле:

где

— число сочетаний j исходов из n вариантов;

n — число вариантов (попыток, испытаний);

j — число исходов (прибыли в нашем примере);

! — знак факториала[301].

Зная количество успешных попыток, можно рассчитать их вероятность:

где

p — вероятность наступления исхода j;

(1 – p) — вероятность наступления противоположного исходу j события.

Например. Рассчитаем вероятность того, что четыре из шести сделок у нас будут прибыльными, если вероятность успешной, прибыльной сделки составляет 33%.

Количество успешных попыток:

Вероятность достижения искомого результата:

Триноминальное распределение является эквивалентом биноминального распределения, но в отличие от него здесь допускаются три возможных варианта событий в результате каждого эксперимента.

Триноминальное распределение позволяет рассчитывать вероятность сложных цепочек и комбинаций событий, каждое из которых может принимать три разных вида (исхода).

Например, построим триноминальную модель изменения фондового индекса DJIA по итогам дневной торговой сессии. Существует три возможных варианта изменения индекса: рост более чем на 0,5% (+1), падение более чем на 0,5% (–1) и узкая торговля в диапазоне от –0,5% до +0,5% (0). Историческая вероятность наступления этих вариантов равна соответственно 23,56%, 27,13% и 49,31% (рис. П.14).

Рис. П.14. Три итерации триноминального распределения

Для определения вероятности успеха при триноминальном распределении необходимо сначала рассчитать количество комбинаций всех возможных вариантов по следующей формуле:

где

— количество комбинаций исходов j₁, j₂ и j₃ из n попыток;

n — число попыток (исходов, испытаний);

j₁ — число исходов первого события (в нашем примере — роста индекса DJIA);

j₂ — число исходов второго события (снижение индекса);

j₃ — число исходов третьего события (узкая торговля).

Зная количество комбинаций всех возможных событий, можно рассчитать вероятность искомого варианта:

где

p — вероятность наступления комбинации исходов j₁, j₂ и j₃.

Например, определим вероятность того, что в течение ближайших 10 торговых сессий мы будем наблюдать пять растущих дней (рост более чем на 0,5%), четыре стабильных дня (стабильность DJI в диапазоне от –0,5% до +0,5%) и только один падающий день. Как мы уже помним, вероятности наступления этих вариантов равны соответственно 23,56%, 49,31% и 27,13%.

Тогда: или 1,47%

Таким образом, вероятность того, что в течение ближайших 10 торговых сессий мы будем наблюдать пять растущих дней (рост более чем на 0,5%), четыре стабильных дня (стабильность DJI в диапазоне от –0,5% до +0,5%) и только один падающий день составляет всего 1,47%.

Приложение 9

Практический пример расчета цены опциона

Формулы для расчета стоимость европейских опционов колл и пут в модели Блэка–Шоулза выглядят так:

Ф(d) — функция распределения стандартной нормальной случайной величины. Ф(d₊) для колл-опционов находится в интервале от 0 до 1 (или от 0 до 100%), а для пут-опционов от –1 до 0 (или от –100 до 0%).

e — экспонента (константа, приблизительно равна 2,718282…);

K — цена исполнения опциона;

S₀ — цена базисного актива в момент покупки/продажи опциона;

r — безрисковая процентная ставка (например, если 6%, то для расчета используется 0,06);

T — доля года, оставшаяся до истечения опциона (отношение количества дней до истечения опциона к 365);

σ — волатильность, измеряется и дается в процентах годовых. В наиболее распространенном варианте представляет собой стандартное отклонение цены.

В формуле Блэка–Шоулза размер премии зависит от шести параметров:

Pr = Pr (S₀, K, T, r, µ, σ)

Значения всех параметров, кроме µ, мы уже рассмотрели раньше. Параметр µ задается в зависимости от вида базисного актива:

µ = r для опционов на акции, по которым не выплачиваются дивиденды;

µ = r – q для опционов на акции, по которым выплачиваются дивиденды с заданной непрерывной ставкой q;

µ = r – r_f для валютного опциона, где r — безрисковая ставка процента в валюте торговли, а r_f — в базисной валюте;