Как покупать дешево и продавать дорого: Пособие для разумного инвестора

Еще в 1915 г. американский экономист Уэсли Митчелл (Wesley Claire Mitchell) обнаружил, что рынок акций не подчиняется нормальному распределению. Позднее Бенуа Мандельброт увидел, что фактическое распределение на финансовых рынках скорее подчиняется распределению Парето–Леви (Pareto-Levy, которое иногда называется также представлением Леви–Хинчина), а нормальное распределение является лишь его частным случаем. Однако, на мой взгляд, гораздо точнее происходящее на финансовых рынках описывает распределение, похожее на распределение Лапласа, за исключением основания степенной функции: в распределении Лапласа основание равно константе e, а в названном мною суперстепенном распределении основание степенной функции равно 10. Формула расчета плотности вероятности суперстепенного распределения выглядит следующим образом:

где α — параметр масштаба (пик фактического распределения);

µ — параметр сдвига (медиана распределения);

l — шаг изменения (интервал) между значениями x для расчета распределения (задается исследователем) — «градация размеров драконов»;

m — общее количество наблюдений переменной x. Здесь добавление в расчет плотности вероятности «+1» означает хотя бы один и всегда не нулевой шанс «встретить дракона любого размера», ведь на финансовых рынках может быть все что угодно[300];

k — сумма расчетных переменных:

где y_i — заданная переменная (или середина интервала переменных).

Вышеприведенная формула наверняка потребует дополнительных исследований и, возможно, уточнений. Однако даже в таком виде она отражает действительность финансовых рынков намного точнее, чем нормальное распределение. На рис. П.12 мы видим два реальных примера расчета суперстепенного распределения для фондового индекса DJIA и индекса доллара (рассчитывается ФРС США) на фоне фактического распределения. Для сравнения также приведено нормальное распределение.

Рис. П.12. Плотность распределения: фактическая, согласно нормальному распределению и согласно суперстепенному распределению

Во-первых, сразу бросается в глаза, что суперстепенное распределение практически точно отражает происходящее на дальних хвостах распределения, как раз в проблемных зонах нормального распределения.

Во-вторых, суперстепенное распределение так же, как и фактическое, имеет пикообразную вершину, а не параболообразную, как у нормального распределения.

В-третьих, в центре суперстепенного распределения наблюдаются заметные погрешности, хотя и меньшего размера, чем у нормального. Впрочем, главная задача суперстепенного распределения — отражать реальную вероятность «встретить дракона большого размера», а не вылавливать маленьких «дракончиков».

В качестве примера произведем расчет суперстепенного распределения по следующим данным фондового индекса DJIA (таблицы П.5 и П.6).

Таблица П.5

Исходные данные для расчета суперстепенного распределения

Таблица П.6

Расчет суперстепенного распределения

Итак, суперстепенное распределение позволяет достаточно точно сказать о вероятности наступления изменения цены заданного масштаба, т.е. о вероятности «встретить дракона» заданного размера в определенный интервал времени.

Приложение 8

Биноминальное и триноминальное распределение

Биноминальное и триноминальное распределения используются при оценке опционов американского типа.

Бифуркации внешне похожи на биноминальное распределение. Только бифуркации пришли к нам из теории хаоса, а биноминальное распределение — из классической статистики. И хотя ранее мы уже обсуждали, что типичные методы расчета вероятностей на финансовых рынках неточны, простота понимания и применения биноминального распределения будет полезна и к тому же активно используется.

Биноминальное распределение является одним из наиболее интересных и важнейших распределений дискретных чисел. Дискретными называют те числа, которые могут принимать конечное, счетное количество значений. Например, курсы валют и акций являются дискретными.

Биноминальные распределения, как следует из самого названия, состоят из переменных, которые могут принимать только два значения в один момент времени и наступления события. Например, 0 или 1; «прибыль» или «убытки»; «угадал» или «не угадал»; «купил» или «продал»; «рост» или «падение» и т.д.

Второе обязательное условие для построения биноминального распределения — все события внутри одного эксперимента и сами эксперименты должны быть независимы друг от друга.

Третье условие — вероятность наступления одинаковых событий в каждом последовательном эксперименте должна быть равновероятна. При этом вероятность одного события внутри одного эксперимента может отличаться от вероятности наступления другого события.

Четвертое и последнее обязательное условие построения биноминального распределения — фиксированная длина ряда в каждом эксперименте.