Камень, ножницы, теорема. Фон Нейман. Теория игр

Растягивая поверхность в соответствующем направлении, мы можем получить из этого квадрата круг, или шестиугольник, или любой другой многоугольник. Главное, чтобы в ходе трансформации поверхность не разорвалась и никакие точки фигуры не наложились на другие. Трансформации, происходящие без разрывов, дыр и склеиваний, то есть посредством растягивания, сжатия или выравнивая, называются непрерывными.

Особым подвидом такого типа трансформаций являются те, при которых остается неподвижная точка. У некоторых пространств это свойство сохраняется при любом виде непрерывной трансформации, и оно позволяет классифицировать различные виды поверхностей. Из всех теорем, затрагивающих это понятие, нужно выделить теорему о неподвижной точке Брауэра, которую сформулировал голландский математик Лёйтзен Эгберт Ян Брауэр (1881-1966). Теорема звучит сложновато, но ее можно легко объяснить. Представим себе, что мы плавно помешиваем ложкой в чашке с кофе. Согласно теореме Брауэра, как только кофе вернется в состояние покоя, в нем будет такая точка, которая окажется в том же самом положении, как когда мы его перемешивали. Из всех способов помешивания кофе есть один, при котором действие теоремы очевидно, — когда ложка движется вдоль стенок чашки. При таком круговом движении центр жидкости останется неподвижным — как глаз бури,— и именно он будет неподвижной точкой Брауэра.

Фон Нейман обнаружил тесную связь между теоремой о минимаксе и теорией неподвижных точек. Это помогло ему не только доказать свою теорему, но и годы спустя сделать важное дополнение теоремы неподвижных точек Брауэра.

ВОЙНА ПОЛОВ

Несмотря на свое немного устрашающее название, война полов — классический пример теории игр, примененной к повседневной жизни, который позволяет нам овладеть базовыми понятиями теории и прийти к определенным социологическим выводам. Оригинальная схема была представлена Робертом Данканом Люче и Говардом Рейфой в книге Games and Decisions («Игры и решения»). В игре участвует пара — мужчина и женщина, — они должны решить, как провести вечер воскресенья. Предлагается два варианта: пойти на футбольный матч или в кино. И у него, и у нее классические вкусы, так что с предпочтениями все понятно. Но добавляется еще одно условие, которое важнее личных предпочтений: провести вечер нужно вместе, а не отдельно, поскольку это один из немногих дней, когда можно побыть вдвоем. В таком случае его предпочтения будут стоять в следующем порядке.

1. Они вместе идут на матч.

2. Они вместе идут в кино.

3. Он идет на матч, а она в кино.

4. Он идет в кино, а она на матч.

На основе этого мы можем определить следующую платежную матрицу, где 1 обозначает лучший платеж, а 4 — худший.

Она на футбол

Она в кино

Он на футбол

1, 2

3, 3

Он в кино

4, 4

2, 1

Эта матрица расшифровывается очень просто. Если они оба идут на матч, то он идет куда хочет, и одновременно проводит время с ней (первое условие); при этом она идет не туда, куда хочет, но проводит время с ним, а это второе условие. Если он идет на футбол, а она в кино, то каждый идет куда хочет, но отдельно друг от друга, а это для них обоих третий по предпочтительности вариант (3, 3).

Мы имеем дело с неповторяющейся игрой, то есть с такой, в которую играют только один раз, и в ней нельзя принимать решения исходя из прошлых стратегий. К тому же это игра с нетрансферабельной полезностью и некооперативная, так как предполагается, что в ней нельзя устанавливать предварительные соглашения типа «если ты пойдешь со мной в кино, я заплачу за твой билет».

Стратегия минимакса привела бы нас к следующей ситуации.

Она на футбол

Она в кино

Он на футбол

1, 2

3, 3

3

Он в кино

4, 4

2, 1

4

4

3

Самые большие потери для него составляют 3 и 4, поэтому его минимакс равен 3. Для нее — 4 и 3, и ее минимакс также равен 3. Это ситуация, в которой он идет на матч, а она в кино, где платежи составляют 3 и 3, что является лучшим вариантом для обоих. В данном случае стратегия минимакса не приводит к равновесию Нэша, так как один из игроков может поменять стратегию, чтобы получить больший выигрыш. Пока он в одиночестве идет на стадион, он может передумать и пойти в кино, получив таким образом больший платеж. Правда, при этом есть риск, что они оба передумают и понесут максимальные потери.

Сделав небольшое усилие, мы можем представить себе ситуацию, в которой все женщины любят футбол, а мужчины — кино. Но игра была бы в точности такой, как мы описали. Это значит, что игра симметрична. Внесем небольшое изменение, сделав ее асимметричной. Изменим порядок его предпочтений.

1. Они вместе идут на матч.

2. Он идет на матч, а она в кино.

3. Они вместе идут в кино.

4. Он идет в кино, а она на матч.

То есть он предпочитает пойти один на футбол, чем вместе в кино. В таком случае платежная матрица будет выглядеть следующим образом.

Она на футбол

Она в кино

Он на футбол

1, 2

2, 3

Он в кино

4, 4

3, 1