Книги, пронизывающие века

С появлением книги К. Жордана наступило "второе рождение" теории Галуа. Когда Жордан работал над своим трактатом, к нему приехали два молодых математика - норвежец Софус Ли и немец Ф. Клейн. Они увлеклись идеями Эвариста Галуа и очень многое сделали для дальнейшей разработки его теории. Софус Ли обратился (следуя по пути Галуа) к дифференциальным уравнениям. Ф. Клейн вскрыл фундаментальную роль идей Галуа для геометрии. Работы этих ученых оказались плодотворными для самых различных разделов математики и математической физики.

В 1906-1907 гг. Ж. Таннери опубликовал большую часть из оставшихся посмертных рукописей Галуа - "дань его славе, сияющей все ярче и ярче со времени публикации Лиувилля".

О трудах французского математика знали и в нашей стране. Первая книга в русской литературе, излагающая теорию Галуа, вышла в свет в 1890 г. Это - "Высшая алгебра" М. Е. Ващенко-Захарченко...

Продолжались разработки основных положений Галуа и в алгебре, появилась специальная научная дисциплина "теория Галуа", изучаемая в высших учебных заведениях. Член-корреспондент АН СССР Н. Чеботарев в предисловии к I тому "Основ теории Галуа (1934 г.) писал: "Теория Галуа вышла из рамок, которые были намечены ее творцом. Вопрос о решении уравнений в радикалах перестал быть центральным в алгебре, но теория Галуа продолжает играть в ней главную роль. Я не говорю уже о том, что идеи Галуа глубоко проникли и в другие отделы математики и частью создали, частью продвинули такие математические дисциплины, как дифференциальные уравнения, автоморфные функции, комбинаторную топологию и т. п.".

И сегодня теория Галуа не является полностью завершенной, многие ее задачи ждут своего решения.

Рукописи Эвариста Галуа сейчас хранятся во французской Академии наук, в той самой Академии, которая в свое время столь высокомерно обошлась с одним из величайших математиков мира.

Что читать

Галуа Э. Сочинения. Пер. с франц. М.- Л., 1936.

Александров П. Введение в теорию групп. М., 1951.

Дальма А. Эварист Галуа, революционер и математик. Пер. с франц. М., 1960.

Инфельд Л. Эварист Галуа. Пер. с англ. М., 1963.

Чеботарев Н. Основы теории Галуа. М.-Л., 1934, ч. I.

"Воображаемая геометрия" Н. И. Лобачевского

Издавна математика признавалась самой совершенной, самой точной из всех наук. А геометрия считалась венцом математики как по незыблемости ее истин, так и по безукоризненности ее суждений.

И вот русский ученый, профессор Казанского университета Николай Иванович Лобачевский создает новую геометрическую систему, которую он сам назвал "воображаемой". В архивах университета сохранился документ - сопроводительная записка Лобачевского к докладу, который он представил в физико-математическое отделение. Записка начиналась словами: "Препровождаю сочинение мое под названием "Сжатое изложение начал геометрии о параллельных линиях". Желаю знать мнение о сем ученых, моих сотоварищей". На документе дата - "7-го февраля 1826 г.", внизу - "Слушано 1826 г. 11 февраля".

Итак, 11 февраля 1826 г. в Казани впервые в мире было публично доложено о рождении совершенно новой геометрии, получившей название неэвклидовой.

...Свыше двух тысяч лет в математике господствовала геометрия Эвклида. Но в этой геометрии есть так называемый пятый постулат о параллельных, равносильный утверждению, что сумма углов в треугольнике равна двум прямым углам. Постулат этот не представлялся математикам столь очевидным, как другие, и они упорно пытались доказать его. Вот неполный список имен ученых, которые трудились над этой проблемой: Аристотель, Птолемей, Прокл, Лейбниц, Декарт, Ампер, Ла-гранж, Фурье, Бертран, Якоби.

Печальный итог исканиям подвел Гаусс. Он писал: "В области математики найдется мало вещей, о которых было бы написано так много, как о проблеме в начале геометрии при обосновании теории параллельных линий. Редко проходит год, в течение которого не появилась бы новая попытка восполнить этот пробел. И все же, если мы хотим говорить честно и открыто, то нужно сказать, что, по существу, за 2000 лет мы не ушли в этом вопросе дальше, чем Эвклид. Такое откровенное и открытое признание, на наш взгляд, более соответствует достоинству науки, чем тщетные попытки скрыть этот пробел, восполнить который мы не в состоянии бессодержательным сплетением призрачных доказательств".

Н. И. Лобачевский

Словом, стремление доказать пятый постулат сравнивают с исступленным желанием найти "философский камень" в средние века или с бесчисленными попытками создать "вечный двигатель". Геометров не устраивало "темное пятно" в "Началах" Эвклида, а решения не находилось.

Анализируя причины многочисленных неудач своих предшественников, Лобачевский пришел к выводу, что все попытки доказать пятый постулат обречены на неудачу. После длительных поисков русский ученый пришел к удивительному открытию: помимо геометрии Эвклида, существует другая, построенная на отрицании пятого постулата. Лобачевский назвал ее "воображаемой геометрией".