Кому нужна математика? Понятная книга о том, как устроен цифровой мир

Алгоритм RSA

Алиса может выбрать не одно число, а сразу пару чисел р, q. Можно считать, что p и q – простые. Возьмем очень простое преобразование

n = p × q.

Это довольно быстрая операция – обычное умножение. Однако если вам дано натуральное число n и даже известно, что n = p × q с некоторыми простыми р и q, которых вы не знаете, то восстановить эти простые числа вам не удастся! Вернее, на это уйдут годы, коль скоро п достаточно велико. Вот такие чудеса! Принцип здесь тот же самый. Для вычисления п используется простое умножение, это очень быстрая операция. А вот обратный процесс, операция разложения на множители, носит в математике красивое имя факторизация (от англ. factor – сомножитель) и представляет собой большую проблему с точки зрения вычислений.

Добавим, что операцию разложения на множители легко выполнить на квантовом компьютере. Но пока у таких компьютеров очень ограниченный регистр, то есть они могут работать только с относительно маленькими числами. Для шифрования на практике используются очень большие числа. Поэтому на данный момент квантовые компьютеры особой угрозы не представляют.

Практика шифрования

Схемы типа Диффи – Хеллмана и RSA работают довольно медленно, в отличие от так называемых симметричных криптосистем, которые гораздо быстрее. Но они пользуются ключом, который нужно хранить в тайне. В определенном смысле это аналоги «Энигмы». Они шифруют с помощью ключа и большого количества сложных преобразований, и знание ключа необходимо для расшифровки.

Итак, у нас есть быстрые схемы, для которых нужен ключ, и медленные – для обмена ключами. Поэтому обычно сессия безопасного соединения через интернет состоит из двух этапов.

Сначала происходит так называемое рукопожатие, то есть обмен сообщениями, во время которого, в частности, устанавливаются ключи. Именно на этом этапе применяются схемы с открытыми ключами, Диффи – Хеллмана или RSA. У «рукопожатия» есть еще несколько целей – например, часто используется аутентификация: сервер хочет убедиться, что он общается с тем, с кем думает, а клиент – что он общается с правильным сервером.

После того как ключи установлены, в течение всей оставшейся сессии сообщения зашифровываются с помощью симметричных криптосистем. В духе эпохи интернета всем хорошо известно, как эти системы работают. Если у Евы есть ключ от вашей сессии, то все ваши секреты у нее в кармане!

В предыдущих разделах мы говорили, что за ваши ключи можно не волноваться. На страже стоят сложные математические операции, которые никто не умеет выполнять. И это правда. Тем не менее качество шифрования зависит не только от математики, но и от имплементации.

Хорошо известно, что для надежного шифрования нужно пользоваться очень большими простыми числами. Стандартная величина 1024 бита, то есть 2¹⁰²⁴. Речь идет о 308-значных числах! Таких простых чисел очень много, выбор большой. Но, к сожалению, многие протоколы пользуются одними и теми же числами, снова и снова. Просто потому, что так легче. Насколько это угрожает нашей безопасности?

В 2015 году вышла статья{18}, которая сильно всколыхнула мир криптографии. Авторы впервые назвали цену взлома наиболее распространенной имплементации схемы Диффи – Хеллмана: 100 миллионов долларов!

100 миллионов долларов за число

Помните, как Алан Тьюринг взломал шифр «Энигмы»? Он построил большую машину, которая смогла быстро вычислить ключ. У этой истории две принципиальные составляющие: «машина» и «быстро».

По сути, до сих пор так все и осталось. Можно сказать, что подход Тьюринга – это прообраз современного подхода к взламыванию шифров. Нужно наличие машины и способ быстрого подсчета ключа. Машину строить необязательно, можно купить суперкомпьютер, были бы средства. Основная загвоздка, как вы уже поняли, именно в быстром способе подсчета.