Кому нужна математика? Понятная книга о том, как устроен цифровой мир

Но, может, выгодно сделать более низкую ставку? Оказывается, нет! Допустим, Анна решила попробовать поставить поменьше, скажем 400. На рис. 8.3 изображены те же три сценария. Если все остальные участники поставили меньше 400, как на рис. 8.3 вверху, то ничего не изменилось, Анна по-прежнему получает товар за вторую цену (в данном случае снова 300). Если кто-то поставил больше 500, как на рис. 8.3 в середине, то Анна не получит товар в любом случае. Но если кто-то поставил 450, как на рис. 8.3 внизу, то Анна товар опять же не получает, хотя цена ее устраивала и она была готова платить больше, чем победитель. Возможность хорошей онлайн-рекламы упущена. Ставить ниже 500 тоже невыгодно!

.

Рис. 8.3. Три сценария, в которых Анна вместо правдивой ставки (500) делает более низкую ставку (400)

Получается, что при аукционе второй цены ни одному из участников нет никакого смысла делать ставку, которая отличается от их честной оценки товара[24].

Это очень простой и глубокий математический результат, в котором сходятся сразу две фундаментальные концепции. Одну из них мы уже обсудили, это совместимость по стимулам, при которой честные ставки самые выгодные. Вторая – это так называемое равновесие по Нэшу. Речь идет о том самом Джоне Нэше из фильма «Игры разума».

Равновесие по Нэшу представляет собой ситуацию, когда ни одному из участников не выгодно в одиночку отклоняться от выбранной стратегии. Данная концепция лежит в основе теории игр, за разработку которой Джон Нэш получил Нобелевскую премию по экономике 1994 года. «Игрой» можно назвать любую ситуацию, когда исход зависит от действий всех участников и у каждого из них свои интересы. Очевидно, что аукцион – это тоже игра. Участники выбирают ставки с целью получить товар по самой выгодной цене[25].

Как распределить несколько рекламных мест

Аукцион Викри сильно упрощает реальность. Поисковые системы разыгрывают не одно, а несколько рекламных мест разной ценности. Хорошо известно, что количество кликов очень сильно зависит от позиции рекламы на странице. Например, по статистике Google, на мобильном телефоне почти 28 % пользователей кликает на самую верхнюю рекламу, а на вторую сверху – чуть больше 9 %. Чем выше вероятность кликов, тем дороже место.

Три верхние строчки – самые ценные. Часто нижние позиции на первой странице тоже заняты рекламой, это следующие по ценности места. Следующий ярус – на экране справа. А в особых случаях реклама попадается и на второй странице – «на пробу» для тех, кто ищет нестандартные результаты.

Теория Викри распространяется на случай, когда разыгрываются сразу несколько товаров. Это хорошо изученная модель аукциона, так называемый механизм Викри – Кларка – Гровса, который часто называют VCG, по первым буквам имен его создателей. Схема вычисления цен и математические свойства VCG довольно сложны и выходят за рамки нашей книги. Мы назовем только две основные особенности.

Во-первых, в аукционе VCG сохраняется свойство совместимости по стимулам: выгоднее всего делать честные ставки. Во-вторых, главная идея этого механизма та же, что и у аукциона второй цены. Возьмем снова наш простой пример. У нас один товар, Анна ставит 500, Борис 300, а остальные – еще меньше. В аукционе второй цены Анна получает товар, но платит 300, то есть максимальную ставку других участников. Примерно то же самое происходит в VCG при розыгрыше нескольких товаров. Товары уходят к тем, кто сделал на них максимальные ставки, а цены определяются не ставкой победителя, а ставками других участников.

Поисковые системы также используют обобщенный аукцион второй цены, изобретение Google. Система проста: каждый платит не свою цену, а следующую по величине. Например, рекламодатели А, Б, В и Г поставили за клик 10, 7, 3 и 1, как в табл. 8.1. Разыгрываются три места. Тогда А получает первое место за 7, Б получает второе место по цене 3, В – третье место по цене 1, а Г рекламного места не получает.

Таблица 8.1. Четыре рекламодателя и их ставки и цены за клик в обобщенном аукционе второй цены

Google пришел к этой системе исходя из идеи второй цены и многочисленных экспериментов. Исчерпывающего математического анализа такого аукциона пока нет, но кое-какие основные результаты известны. Например, делать честные ставки выгодно не всегда, просто потому что более низкие рекламные позиции могут оказаться гораздо выгоднее. Это одна из причин, по которой «Яндекс» с августа 2015 года перешел на аукционы типа VCG, где честные ставки ведут к оптимальной позиции по оптимальной цене для всех участников.

Для заинтересованного читателя ниже во врезке мы приводим пример, в котором в обобщенном аукционе второй цены одному из участников выгодно занизить ставку. Этот пример не требует никакой математической подготовки, но если вы не хотите вникать в детали, можете его пропустить.