Красота физики. Постигая устройство природы

Кварковая модель

Quark model

Кварковая модель – это полуколичественная модель адронов. Исторически она сыграла важную роль в упорядочивании данных о сильном взаимодействии. Чтобы узнать больше о кварковой модели, см. главу «Квантовая красота III», часть 2.

Кинетическая энергия.

См. Энергия.

Колебание

Oscillation

Мы называем физический процесс, который проходит через много циклов повторяющихся состояний, причем через фиксированный интервал времени, колебанием. Вибрации после щипка струн или удара по камертону, знакомые из музыки, являются примерами колебаний.

Комплексное измерение

Complex dimension

Обычные («вещественные») измерения естественным образом описываются с помощью чисел – координат, – которые являются действительными числами. К примеру, позиция точки на экране компьютера задается двумя действительными координатами, обозначающими ее положение по вертикали и по горизонтали, в то время как точка в обычном пространстве задается тремя координатами. Во многих математических и физических контекстах бывает удобно рассматривать пространства, в которых координаты задаются комплексными числами. В этом случае мы говорим, что у нас имеется комплексное пространство и что необходимое число координат равно числу комплексных измерений в этом пространстве. Поскольку комплексное число может быть задано двумя действительными числами – а именно величинами его действительной и мнимой частей, – комплексное пространство можно также рассматривать как вещественное пространство (с дополнительной структурой). Если рассматривать его таким образом, то число его вещественных измерений будет равно удвоенному числу его комплексных измерений.

Комплексные числа

Complex numbers

Мнимая единица, обозначаемая i, это число, которое в результате умножения на себя дает −1. Или, в виде уравнения, i²= −1. Комплексные числа – это числа вида z = x + iy, где x и y – действительные числа; x называется действительной частью z, а y – мнимой частью.

Комплексные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить, подобно тому, как это делается с действительными числами.

Комплексные числа были введены в математику, чтобы уравнения общего вида, включающие суммирование и возведение в степень, – так называемые полиномиальные уравнения – могли иметь решения. Так, например, уравнение z² = −4 не имеет решения в действительных числах, но оно имеет решение z = 2i (и z = −2i). Можно доказать, что комплексные числа в том виде, как мы их определили, полностью пригодны для этой задачи. (Этот результат, так называемая основная теорема алгебры, отнюдь не очевидна и ее доказательство было важным событием в математике.)

Как подсказывает название «мнимые» (и его явное противопоставление термину «действительные»), математики с большим трудом примирились с таким видом чисел. Их «существование» почему-то казалось сомнительным. Лишь несколько смельчаков мудро вняли совету отца Джима Малли – «Более достойно благословения просить прощения, чем разрешения» – и использовали их. Привычка и дальнейшие успехи в конце концов привели к тому, что комплексные числа стали пользоваться большим уважением. Математика XIX в. в большой степени была исследованием ослепительных перспектив того, что комплексные числа могут дать исчислению и геометрии.

В XX в. способ введения новых видов объектов путем cоставления списка их желательных свойств и объявления, что такие объекты существуют, – способ, который был так успешен с комплексными числами, стал обычной рабочей процедурой. Эмми Нётер сыграла большую роль в развитии такого образа мыслей. Если бы Платон узнал о таких изменениях, он, возможно, почувствовал бы себя оправданным, учитывая, что математики полностью приняли его философию и познали радость Идеалов.

(Позволю себе небольшое отступление, которое стоит читать как поэзию. Действительно, идеалы, которые так и называют, являются важным классом математических объектов. Возможно, произведением искусства в чистой математике, сравнимым по глубине и значению с теоремой сохранения, которой мы пели хвалу в основном тексте, является понятие нётерова кольца. Что такое нётерово кольцо? Это кольцо, в котором любая цепь возрастающих идеалов в итоге заканчивается. Конец отступления.)

Другой полезный способ представления комплексного числа заключается в том, чтобы записать его как z = r cos q + ir sin q, где r – это положительное действительное число либо ноль, а q – угол; r называется модулем комплексного числа, а q называется его фазой[104]. Таким образом, либо (x, y), либо (r, q) могут служить координатами комплексных чисел.

В квантовой теории комплексные числа встречаются повсеместно.

Комплексные числа – это божественные числа.

Конфайнмент