Красота в квадрате

Благодаря этим теплокартам я понял, что мы действительно отсеиваем простые числа. Ниже представлены те же теплокарты, но в них простые числа отмечены звездочками. Они и впрямь похожи на решето! В теплокартах «Самые любимые числа» и «Хорошие — плохие числа» простые числа почти всегда попадают в белые квадраты, как будто проваливаются через отверстия в металлической сетке. Напротив, в теплокартах «Возбудимые — спокойные числа», «Самые любимые числа» и «Произвольно выбранные числа» простые числа обозначены черными и серыми квадратами. Эти сетки напоминают решето, предназначенное для вылавливания простых чисел. Следовательно, простые числа — это очень важный элемент внутренних представлений о числах, причем не только для таких гениев, как Джерри Ньюпорт, но и для всех нас. Наш мозг всегда настроен на восприятие арифметических истин.

Числа атакуют нас постоянно. Они взывают к нам с часов, телефонов, газетных страниц, компьютерных мониторов, дорожных знаков, этикеток, автобусных остановок, адресов, номерных знаков, рекламных щитов, книг и постоянно воздействуют на наши нейроны. Внимательно присмотревшись к ним, мы обнаруживаем удивительные закономерности.

Теплокарты, на которых простые числа отмечены звездочками

2. Длинный хвост закона

В 1085 году Вильгельм Завоеватель приказал провести в Англии перепись. Он хотел знать, сколько людей живет на его землях, кто эти люди, какое у них имущество, какой доход они получают и, что самое главное, какие налоги должны платить. Он разослал своих представителей по всему королевству, и его приказ был выполнен настолько тщательно, что в летописи Anglo-Saxon Chronicle («Англосаксонские хроники») появилась запись: «Ни одного быка, ни одной коровы и ни одной свиньи не осталось неучтенной».

Книга с результатами этой переписи известна под названием Doomsday Book («Книга Судного дня»). Это самый ранний источник сведений о населении Англии, первый в западном мире крупный сборник статистических данных и настоящая находка для историков, специалистов по генеалогии и лексикографов. Движимый желанием узнать, скрыты ли в этой книге математические тайны, я приступил к изучению первого раздела, посвященного графству Кент [1].

В самом начале говорилось о том, что город Дувр заплатил 18 фунтов налога, из которых две части ушло королю Эдуарду, а третья — графу Гудвину. Жители Дувра дали королю 20 кораблей на 15 дней с экипажем в количестве 21 человека на каждом судне.

Поскольку меня интересовали исключительно числа, я выделил из этого абзаца следующий список: 18, 2, 20, 15 и 21 — и мне сразу же кое-что бросилось в глаза. Посмотрите на первую цифру каждого числа: 1, 2, 2, 1 и 2. Только единицы и двойки, самые маленькие цифры. Любопытно, не правда ли? По всей вероятности, да. Но все же выборка была слишком мала, чтобы делать какие-то выводы. Я прочитал книгу до конца, отмечая первые цифры каждого числа, которое мне встречалось. Преобладание единиц и двоек наблюдалось по всей книге. Да, тройки, четверки и другие цифры тоже присутствовали, но гораздо реже. Я был просто поражен тем, насколько чаще числа начинаются с маленьких цифр, чем с больших.

Я насчитал уже 182 числа, когда мне впервые попалась на глаза девятка. Она обозначала количество крестьян, подчинявшихся Вульфстану, сыну Вульфвина из Шепердсуэлла. К тому времени я насчитал 53 числа, начинающихся с цифры 1, 22 — с цифры 2, 18 — с цифры 3 и 15 — с цифры 4. Посмотрите на эти числа еще раз: в них тоже прослеживается четкая закономерность. Числа с цифрой 1 в начале встречаются чаще, чем с цифрой 2, последняя, в свою очередь, чаще, чем с цифрой 3, и т. д., вплоть до чисел с цифрой 9 в начале, которых меньше всего.

Мне было понятно, почему единица попадалась так часто. Королевские посланцы, проводившие перепись, переходили от одного жилища к другому, пересчитывая людей, домашний скот и инвентарь. В хозяйствах, которые вспахивали свои земли, было, как правило, по одному плугу — отсюда и такая высокая повторяемость единицы. Однако это не объясняло невероятно устойчивого снижения частотности чисел по мере увеличения их первых цифр, особенно когда этими числами обозначались самые разные объекты в самых разных количествах — например, 40 000 сельдей, подаренных монахам в Кентербери, или 27 соляных приисков в Милтон-Реджисе.

Возможно, это свойственно только тем давним временам. Я закрыл «Книгу Судного дня» и перенес свои исследования на 800 лет вперед, оказавшись в Лондоне викторианской эпохи.