Красота в квадрате

Двенадцатого марта 1881 года на первой странице газеты The Times были опубликованы такие объявления: владелец 25-тонной шхуны ищет джентльмена, который согласится отправиться вместе с ним в южные моря; временный приют для бездомных собак в Баттерси приглашает людей, желающих купить домашнее животное, посмотреть 500–700 своих обитателей; Сэмюел Брэндрем сообщает, что его шекспировские чтения состоятся в четверг, в 3 часа дня, по адресу Старая Бонд-стрит, 33 — забронировать места можно за 5 шиллингов.

Я подсчитал частотность первых цифр (также именуемых ведущими цифрами) во всех числах, которые нашел на первой полосе The Times. Числа с цифрой 1 в начале и на сей раз встречались чаще всего, в отличие от цифры 9, занимавшей в этом рейтинге последнюю позицию. Хотя жизнь в XIX столетии существенно отличалась от жизни в XI веке, первые цифры чисел, отражавших социальную статистику, вели себя практически одинаково.

Такую же закономерность можно найти на страницах любой современной прессы. Попробуйте сделать это сами! Этот простой трюк можно показывать на вечеринке; его также любят демонстрировать фокусники в пабах. Посчитайте первые цифры — и увидите, что их частотность неизменно снижается: числа, начинающиеся с цифры 1, встречаются чаще всего; затем следуют числа, первая цифра которых 2, потом 3 — и т. д. до цифры 9, которая используется в начале чисел реже всего.

Это действительно невероятно. Большинство людей просто не поверят вам, пока вы не подсчитаете цифры. На интуитивном уровне нам кажется, что числа, указанные в газетах, не могут вести себя столь упорядоченно, особенно учитывая тот факт, что они произвольно взяты из огромного количества самых разных источников. Тем не менее, о каких бы числах ни шла речь — о результатах спортивных соревнований, ценах акций или количестве погибших, — уверяю вас: цифра 1 в начале чисел будет встречаться чаще, а цифра 9 — реже всего.

Этот вывод представляется нам несколько неожиданным, так как мы интуитивно предполагаем, что все числа имеют равные шансы на появление. Безусловно, если поместить в ящик 999 шариков для пинг-понга, пронумерованных от 1 до 999, и извлекать их в произвольном порядке, то вероятность выбора любого числа с определенной цифрой в начале составляет одну девятую, или 11 процентов. Другими словами, у всех цифр в этом случае одинаковые перспективы. Однако очевидно и то, что в газетах первые цифры чисел ведут себя абсолютно иначе: они распределены по явно выраженному асимметричному закону.

Тенденцию к преобладанию чисел, начинающихся с единицы, впервые заметил американский астроном канадского происхождения Саймон Ньюком [2]. В 1881 году он опубликовал в журнале American Journal of Mathematics краткую заметку, в которой объяснял, что выявил данную особенность благодаря книгам с логарифмическими таблицами. Первые страницы с таблицами логарифмов для чисел, начинающихся с цифры 1, всегда были более истрепаны, чем страницы с таблицами для чисел, начинающихся с цифры 9. Подобный феномен уж точно не объяснишь тем, что исследователи якобы внимательно читали первые страницы книги, а затем теряли к ней интерес из-за отсутствия захватывающего сюжета. Здесь причина в другом: они чаще сталкивались в работе с числами, начинающимися с единицы. Ньюком предположил, что частотность первых цифр чисел, выраженная в процентах, примерно такова.

Частота наличия цифры 1 в начале чисел составляет 30,1 процента, цифры 2 — 17,6 процента, цифры 3 — 12,5 процента, причем этот показатель стремительно падает по мере увеличения цифры: шанс встретить цифру 1 в начале чисел в семь раз превышает подобную вероятность по отношению к цифре 9.

Ньюком рассчитал эти показатели с помощью логарифмов. Он утверждал, что вероятность появления цифры d в начале числа определяется по формуле: log(d + 1) – log d. (В Приложении 1 я объясню ее суть.) Однако он не смог четко обосновать ее, поэтому привел вместо этого неформальный аргумент, просто представив его как некую любопытную тенденцию.