Красота в квадрате

Греческая система счисления произошла от египетской, которая подразумевала запись чисел двумя способами [6]. Вырезая числа на дереве или высекая на камне, египтяне использовали иероглифы. Каждая степень десяти от единицы до миллиона была представлена специальным символом: 1 — вертикальная линия, 10 — перевернутая буква U, 100 — спираль, 1000 — цветок лотоса со стеблем, 10 000 — слегка изогнутый палец, 100 000 — головастик, 1 000 000 — человек на коленях с поднятой к небу головой [7]. Любое число записывалось посредством повторения этих символов; например, число 3 141 592 выглядело бы так.

Для записи чисел на папирусе египтяне применяли менее сложную систему иератического письма, которая больше подходила для использования ручки и чернил. Они ввели специальные символы для обозначения цифр и чисел, кратных 10. Таким образом, вместо утомительного изображения числа 7 в виде семи вертикальных линий египтяне применяли один символ . Переход от представления чисел в виде повторяющихся иероглифов к их записи с помощью символов был важным шагом вперед.

В случае записи чисел с помощью иероглифов для обозначения дробей над числом размещался символ рта , для того чтобы обозначить обратную величину — подобно тому, как мы ставим 1 над линией дроби. Например, дробь изображалась как , а  — как . В системе записи чисел посредством иератического письма для обозначения дроби над числом ставилась точка; например, дробь выглядела так: . Египтяне использовали только единичные дроби, поэтому им приходилось разбивать дроби с числителем больше 1 на сумму единичных дробей, например  — на + и  — на + + + . Сжатое значение египетских сумм единичных дробей напоминает нашу систему десятичных дробей, в которой, например, число 0,234 представляет сумму дробей + + , хотя египетская система была не настолько эффективной и гибкой, как наша [8].

Во времена Евклида древние греки уже использовали систему счисления, основанную на египетском иератическом письме: 27 числам соответствовали 27 различных символов — букв греческого алфавита [9]. Например, число 444 записывалось как υµδ, поскольку символом υ обозначалось число 400, символом µ — 40 и δ — 4. Дроби описывались словами, скажем, «одиннадцать частей в восьмидесяти трех» или отображались в виде простых дробей с числителем и знаменателем, во многом напоминавших современную форму, такую как , хотя у греков сохранилось исторически сложившееся пристрастие к единичным дробям. Египетская и греческая системы представления чисел не годились для астрономии, поскольку для отслеживания движения планет необходимо рассчитывать малейшие доли углов, а простые и единичные дроби слишком громоздки для этого.

В Месопотамии, однако, применялась гораздо более гибкая система представления чисел. В Вавилоне использовалась позиционная система счисления, в которой значение каждой цифры зависело от ее позиции в числе. Современная числовая система — это десятичная позиционная система счисления. Например, в числе 123 цифра 3 находится в разряде единиц, цифра 2 — в разряде десятков и цифра 1 — в разряде сотен. Большим преимуществом позиционной системы счисления является то, что с ее помощью можно записывать дроби. В нашей системе счисления такие дроби называются десятичными. Например, в числе 0,56 цифра 5 находится в разряде десятых, а цифра 6 — в разряде сотых.

Вавилоняне применяли шестидесятеричную систему счисления, то есть в ее основу было положено число 60. (В вавилонской системе числа записывались в виде комбинации двух символов — вертикального клина и горизонтального клина .) До сих пор неизвестно, почему вавилоняне выбрали именно число 60 в качестве основания позиционной системы, хотя, возможно, это объясняется тем, что шестьдесят — минимальное число, которое делится на 1, 2, 3, 4, 5 и 6, а это упрощало решение ряда арифметических задач. Вавилоняне расширили свою систему представления чисел на дроби. У них не было специального «шестидесятеричного» символа, подобного нашей десятичной запятой, поэтому значение разрядов приходилось определять по контексту. Например, число 123 могло означать также, что цифра 1 находится в разряде единиц, цифра 2 — в разряде шестидесятых, а цифра 3 — в разряде 3600-х. Позиционные дроби значительно превосходят простые дроби, как мы знаем по собственному опыту применения десятичных дробей. Для их записи требуется меньше символов, и с ними проще делать расчеты. Вавилоняне умели извлекать корень из двух до трех шестидесятеричных разрядов, или с точностью около 0,000008 от истинного значения — поразительный результат для того периода. Легкость, с которой вавилоняне делили углы на более мелкие части, позволила им добиться выдающихся для своего времени успехов в астрономии.