Красота в квадрате

Вавилоняне поделили круг на 360 градусов. Возможно, такое разбиение было связано с зодиакальным кругом, который состоял из 12 знаков зодиака и 36 декан (деканальных божеств), или с тем, что 360 — это примерное количество дней в году. Не так давно появилось еще одно предположение: число 360 выбрано потому, что, как показано на рисунке ниже, в окружность вписывается шесть равносторонних треугольников и каждый из углов в ее центре разделен на 60 частей, как того требуют шестидесятеричные дроби. Безусловно, все эти причины дополняли друг друга, и вавилонская система счисления оказалась чрезвычайно долговечной.

Во II столетии до нашей эры древние греки заимствовали вавилонские дроби, используемые до сих пор. Градус по традиции был разделен на 60 более мелких частей, каждая из которых обозначалась как pars minuta prima («часть мелкая первая») и состояла, в свою очередь, тоже из шестидесяти мелких частей, позиционируемых как pars minuta secunda («часть мелкая вторая»). От этих латинских выражений произошли слова минута и секунда, или единицы времени, — самые известные реликвии, доставшиеся нам от древней шестидесятеричной системы счисления.

Имея в своем распоряжении подходящую систему счисления, древнегреческий астроном Гиппарх приступил к составлению таблицы данных о соотношении сторон треугольника. Он делал это на основе хорды — отрезка, соединяющего две точки окружности и названного так потому, что он напоминает туго натянутую струну лука11. Каждая хорда с центром окружности образует треугольник, как показано на рисунке ниже

Если длина окружности постоянна, то углам с вершиной в ее центре соответствуют хорды разной длины. Гиппарх составил таблицу углов, кратных 7,5 градуса, с указанием длины хорд. Во II столетии нашей эры астроном Птолемей развил эту идею, создав таблицу хорд для окружности с радиусом 60 единиц, в которой была приведена длина хорд, соответствующих углам с интервалом в полградуса от 0 до 180 градусов, с точностью до третьего шестидесятеричного разряда. Таблицы хорд Гиппарха и Птолемея оказались бесценны для западных астрономов, рассматривавших Землю и другие небесные тела как вершины космических треугольников. Таким образом, треугольник стал первым телескопом за всю историю человечества, сделав внеземные объекты доступными для измерения.

В Индии в середине первого тысячелетия нашей эры астрономия процветала по той же причине, что и в Вавилоне: у индийцев тоже была позиционная система счисления, позволяющая им эффективно описывать как очень большие, так и очень малые числа. На самом деле индийская система счисления даже превосходила вавилонскую, поскольку основывалась на десятках, что было более удобно, чем группы по шестьдесят цифр. Кроме того, индийцы считали ноль полноправным числом, а не символом-заполнителем незначащих разрядов чисел, как вавилоняне. Индийские астрономы также пользовались таблицами длин сторон треугольников. Однако вместо хорд они их составили для полухорд. Как показано на верхнем рисунке, полухорда — это сторона прямоугольного треугольника, в котором радиус окружности представляет собой гипотенузу, а другая сторона — часть биссектрисы, перпендикулярной хорде. Концепция полухорд удобнее для расчетов, поскольку, как мы уже знаем, любой треугольник делится на прямоугольные треугольники. Позиционная система счисления индийцев и их знания о длине сторон треугольников получили распространение в арабском мире и со временем достигли Европы. Система представления чисел с помощью цифр от 0 до 9, которые мы используем в наше время, так же как и выбор полухорд, берет свое начало в индийской системе счисления.

В VI столетии до нашей эры Фалес уловил суть самого важного свойства треугольников, лежащего в основе всего, что мы о них знаем, в частности, что при равных углах отношения их сторон не меняются.

А теперь представим, что мы перенеслись на две тысячи лет вперед, в то время, когда математики изобрели три новые концепции, основанные на этом свойстве: синус, косинус, тангенс.

SOH-CAH-TOA!12

Тем, кто забыл это мнемоническое правило, хочу напомнить формулы:

Синус, косинус и тангенс — это тригонометрические функции, применяемые по отношению к прямоугольным треугольникам, таким как треугольник на представленном выше рисунке. Синус угла α — это отношение противолежащего катета к гипотенузе; косинус угла α — отношение прилежащего катета к гипотенузе; тангенс угла α — отношение противолежащего катета к прилежащему.

Если понадобится увеличить изображенный на рисунке треугольник до нужного размера, пропорции между сторонами останутся неизменными, а это значит, что синус, косинус и тангенс угла α, которые принято записывать как «sin α», «cos α» и «tan α»13, представляют собой постоянную величину. Тригонометрические функции — это своего рода идентификационный код, описывающий форму прямоугольных треугольников: она зависит от внутренних углов, поэтому, если они неизменны, не изменяются и значения синуса, косинуса и тангенса.