Культурный переворот в Древней Греции VIII—V вв. до н.э.

Этой ранней потребности отвечает и ранняя возможность такого доказательства. Доказательство, которое приводит Евклид, использует, кроме очевидных аксиом и приемов построения, еще только одну теорему — теорему о равенстве треугольников при условии равенства угла и двух прилежащих к нему сторон. Теоремы такого типа реконструируются Ван дер Варденом уже для раннего пифагорейского компендиума, а относительно другой теоремы о равенстве треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам) нам известно, что ее доказал уже Фалес.

Следовательно, теорема I, 6 «Начал» принадлежит к числу тех, для доказательства которых были возможности уже в первом или во втором поколении геометров, и поиски доказательства должны были начаться сразу после доказательства прямой теоремы Фалесом. Между тем эта теорема, принадлежащая к первому этапу формирования геометрии, доказывается у Евклида не прямым способом, а способом от противного.[906]

До нас не дошло других античных доказательств предложения I, 6, да и само требование доказательства этой и других, столь же элементарных теорем прямым путем было бы подлинным ударом по геометрии, потребовав введения в ясном или неявном виде дополнительных аксиом (такая операция была проделана в XVII в. Озанамом). О такого рода кризисе мы бы что-то знали, так что, судя по всему, доказательство, приводимое Евклидом, является достоянием греческой геометрии с момента ее становления[907] и может служить примером доказательств от противного, под влиянием которых Парменид мог решиться на попытку перенести соответствующие приемы на решение философских вопросов.[908]

Сабо не прав, когда пытается доказать, что общие термины, связанные с математическими доказательствами, восходят к философской диалектике. Для терминов αίτημα, αξίωμα, όμολόγημα (постулат, аксиома, соглашение) мы можем с одинаковым успехом предполагать происхождение и из философской беседы, и из преподавания математики, ибо о формировании такого рода терминов в условиях преподавания математики с учетом точки зрения обучающегося прямо свидетельствует Аристотель (An. Post. 76 b 25 sqq.).[909] Что же касается термина θεώρημα (букв. «видимое»), то его значение в математике явно восходит к наглядности геометрического доказательства, пользующегося чертежом, а не к философской диалектике. В результате оказывается более правдоподобным и внутриматематическое развитие в термины слов αίτημα, αξίωμα[910] и όμολόγημα.

Знакомство Парменида с учениями Пифагора и ранних пифагорейцев не может оспариваться, хотя относительно их влияния на основные его идеи существуют разные мнения.[911] Преемственность по отношению к раннему пифагорейству принимается и нашей биографической традицией о Пармениде (D. L. IX, 21). Таким образом, у нас нет оснований считать неправдоподобным влияние на Парменида приемов доказательства, употреблявшихся в раннепифагорейской математике.

От элеатов до Аристотеля магистральная линия совершенствования приемов логической аргументации проходила через софистов, Сократа и Платона. Влияние на Платона современной ему математики общеизвестно, в то время как его влияние на математику проблематично.[912] Мы сейчас приведем данные о связи большинства известных нам софистов с развитием математики их времени и попытаемся показать, что в тех случаях, когда материал дает какую-то возможность судить о направлении влияний, они ведут от математики к софистам.

Протагор, возражая против определения касательной, предложенного математиками, доказывал, что она касается окружности не в одной точке (68 В 7 DK);[913] возможно, он выдвигал аналогичное утверждение и относительно шара и плоскости (Sext. Emp. Adv. math. III, 27).[914] Трудно сказать, насколько широко занимался Протагор такого рода вопросами. Т. Гомперц предполагал, что он систематически рассматривал математические понятия,[915] а Вильгельм Нестле считал, что мы имеем здесь дело с единичным критическим выпадом Протагора.[916]

Платон в «Протагоре» (318 е) заставляет Протагора высказывать неодобрение в адрес тех, кто учит юношей счету, астрономии, геометрии и музыке, взглянув при этом на Гиппия. Похоже, что полемика с теми, кто писал по этим отраслям знания, могла занимать заметное место в сочинениях Протагора. Во всяком случае, из того, как Платон говорит в «Теэтете» (152 а, 153 c-d, 161 b, 164 е, 169 а, 183 b-с) о содружестве с Протагором математика Феодора Киренского и об его ученичестве у Протагора, никак не следует, что Протагор учил его математике.[917]