Курс теоретической астрофизики

Ситон получил более точные решения систем уравнений (24.2) и (24.3). Искомая величина z_i была при этом представлена в виде

z

_i

=

C

_i

+

k=i+1

Q

_ki

C

_k

,

i-1

k=k

A

_ik

(24.5)

где k=1 в случае А и k=2 в случае В, а величины Q_ki (зависящие только от эйнштейновских коэффициентов спонтанных переходов и от значения k) составляют элементы «каскадной матрицы». Очевидно, что величина Q_ki определяет вероятность попадания атома на уровень i с уровня k любым путём. Вычисленные Ситоном значения величины b_iexp(_i/(kT_e)) приведены в табл. 32.

Таблица 32

Значения величины b_i exp

_i

kT_e

i

T

_e

, K

Случай А

Случай B

10 000

20 000

10 000

20 000

2

0,193

0,315

-

-

3

0,213

0,332

0,668

1,013

4

0,244

0,364

0,540

0,792

5

0,273

0,394

0,519

0,739

6

0,299

0,421

0,520

0,725

7

0,322

0,443

0,529

0,722

8

0,341

0,463

0,540

0,725

9

0,360

0,480

0,552

0,730

10

0,376

0,480

0,552

0,730

15

0,434

0,547

0,605

0,756

20

0,472

0,580

0,635

0,772

25

0,499

0,603

0,656

0,785

30

0,520

0,621

0,673

0,795

Мы видим, что величина b_i сильно отличается от единицы (а при i->, как и следовало ожидать, b_i->1). На этом основании может сложиться впечатление, что в отношении распределения атомов по состояниям туманности близки к термодинамическому равновесию. В действительности это верно только в отношении величин n_i/n_en (при i>=2 в случае А и при i>=3 в случае В). Если же рассматривать степень возбуждения атомов n_in то эта величина очень далека от своего значения при термодинамическом равновесии. В самом деле, из формул (23.14) и (24.4) мы получаем

n_i

n

=

pW

T_*

T_e

b

_i

g_i

g

exp

_i

kT_e

-

kT_*

.

(24.6)

Формула (24.6) сильно отличается от формулы Больцмана. Особенно существенно присутствие в правой части формулы (24.6) малого множителя W. Вследствие этого число возбуждённых атомов в туманности гораздо меньше числа атомов в основном состоянии.

Следует отметить, что система уравнений (24.3) [как и (24.2)], определяющая населённости уровней атома водорода, не является вполне точной. При написании этой системы не было принято во внимание азимутальное вырождение уровней, т.е. наличие при главном квантовом числе i ряда состояний с различными азимутальными числами l. В действительности вместо системы (24.3) мы должны написать следующую систему уравнений для определения чисел n_il:

n

_il

i

k=1

A

_ilk(l-1)

+

i

k=l+2

A

_ilk(l+1)

=

=

k=i

n

_k(l+1)

A

_k(l+1)il

+

n

_k(l-1)

A

_k(l-1)il

+

n

_e

n

C

_il

(T

_e

)

(

i=3, 4, 5, …,

l=0, 1, 2, …, i-1

).

(24.7)

Здесь учтено, что разрешены только такие переходы, при которых число l меняется на единицу. Система уравнений (24.7) рассматривалась в ряде работ. Один из полученных результатов состоит в том, что замена системы (24.3) системой (24.7) не приводит к значительным изменениям в числах атомов n_i (а также и в интенсивностях эмиссионных линий).

Уравнения, определяющие населённости уровней, могут быть составлены не только для водорода, но и для других атомов. Однако для других атомов (кроме водородоподобных ионов) очень трудно найти величины A_ki и C_i(T_e). Поэтому населённости уровней в этих случаях вычислялись приближённо (см. [10]).

2. Интенсивности эмиссионных линий.

Знание населённостей уровней атома даёт возможность вычислить интенсивности эмиссионных линий. Эти вычисления сильно облегчаются полной прозрачностью туманностей для излучения в линиях субординатных серий. Интенсивности линий, возникающих в спектрах туманностей в результате рекомбинаций, зависят только от коэффициентов рекомбинаций C_i(T_e) и коэффициентов спонтанных переходов A_ki. Поэтому путём сравнения теории с наблюдениями можно, в частности, проверить правильность квантовомеханических вычислений этих коэффициентов. Такая проверка (представляющая особый интерес в случае сложных атомов) возможна только при изучении туманностей, благодаря крайней простоте осуществляющихся в них физических условий.

Мы сейчас найдём интенсивности эмиссионных линий водорода. Количество энергии, излучаемое туманностью в линии, соответствующей переходу k->i, за 1 с равно

E

_ki

=

A

_ki

h

_ik

n

_k

dV

,

(24.8)

где интегрирование производится по всему объёму туманности. Представим число атомов n_k в виде n_k=z_k(T_e)n_en, где величина z_k(T_e) определяется из системы уравнений (24.2) или (24.3). Если считать, что электронная температура не меняется в туманности, то вместо формулы (24.8) имеем

E

_ki

=

z

_k

A

_ki

h

_ik

n

_k

dV

,

(24.9)

Входящий в полученную формулу интеграл нам не известен, но он общий для всех линий. Поэтому формула (24.9) даёт возможность вычислить относительные интенсивности эмиссионных линий.

В частности, при помощи формулы (24.9) можно найти относительные интенсивности бальмеровских линий, т.е. так называемый бальмеровский декремент. Выражая интенсивности бальмеровских линий в интенсивности линии H (как обычно делается), получаем

E_k

E

=

z_kA_kk

zA

.

(24.10)

Теоретический бальмеровский декремент (вычисленный Ситоном) приведён в табл. 33.