Курс теоретической астрофизики

Как известно, белые карлики расположены в нижнем левом углу диаграммы спектр — светимость, т.е. они обладают очень низкими светимостями и высокими поверхностными температурами. Отсюда сразу следует, что радиусы белых карликов очень малы (порядка сотой радиуса Солнца). Некоторые белые карлики входят в двойные системы, что даёт принципиальную возможность определения их масс. Для трёх белых карликов массы были определены и оказались близкими к массе Солнца. На основании этих данных можно заключить, что белые карлики обладают огромными плотностями: их средние плотности порядка 10 г/см^3, а средние концентрации порядка 10^3 см^3.

Столь большие плотности белых карликов наводят на мысль о возможности вырождения в них газа. Применим к белым карликам неравенство (36.19), являющееся условием того, что газ вырожден. Для электронов (при n_e10^3 и T10) левая часть этого неравенства порядка 10^3, а для протонов — порядка 10^3 (для других атомных ядер ещё больше). Следовательно, электронный газ внутри белых карликов вырожден, а газ из ядер не вырожден.

Газовое давление внутри звезды складывается из давления свободных электронов и давления атомных ядер, т.е.

P

_G

=

P

_e

+

P

_a

.

(37.17)

Но давление вырожденного электронного газа значительно превосходит давление невырожденного газа из ядер, т.е. P_eP_a (так как в первом случае частицы из-за вырождения занимают в среднем более высокие энергетические уровни, чем во втором).

Легко также показать, что в условиях белых карликов газовое давление гораздо больше давления излучения. Поэтому полное давление P внутри белых карликов можно принять равным давлению вырожденного электронного газа.

Выше мы видели, что в уравнение состояния сильно вырожденного электронного газа входят только давление и плотность, но не входит температура. Это значит, что распределение давления и плотности внутри белого карлика может быть найдено лишь на основании уравнения состояния и уравнения механического равновесия. Рассматривать для этого уравнение энергетического равновесия не нужно. Следовательно, структура белого карлика определяется гораздо проще и надёжнее, чем структура других звёзд.

Возьмём сначала для P выражение (36.23), т.е. будем считать, что вырожденный электронный газ является нерелятивистским. Уравнение состояния (36.23), полагая n_e=/_em_H, можно переписать в виде

P

=

C

^/

^3

,

(37.18)

где

C

=

1

20

3

^2/

h^2

m(_em_H)^/^3

,

(37.19)

а величина _e, на основании (36.34), равна

_e

=

1

1+X

.

(37.20)

Уравнение (37.18) представляет собой политропную зависимость между P и . Поэтому рассматриваемые белые карлики являются политропными шарами, для которых k=/, а значит, n=^3/ Распределение P и внутри звезды находится в этом случае на основе изложенной выше теории Эмдена.

Следует, однако, отметить существенную особенность белых карликов. В теории Эмдена постоянная C заранее считается неизвестной и лишь потом выражается через M, R и n формулой (35.24). В случае же белых карликов величина C даётся формулой (37.19). Так как указанные выражения для C должны быть равны друг другу, то мы приходим к выводу, что масса и радиус белого карлика связаны между собой. Именно, из (35.24) (при n=^3/) и (37.19) находим

R

=

2,8·10

_e^/^3

M

M

^1/

.

(37.21)

Из соотношения (37.21) видно, что чем больше масса белого карлика, тем больше его средняя плотность.

Как уже сказано, уравнение состояния (37.18) справедливо лишь для электронов, скорости которых малы по сравнению со скоростью света. Это значит, что приведённые результаты относятся только к белым карликам со сравнительно небольшими плотностями (т.е. со сравнительно малыми массами). Более общая теория белых карликов была дана Чандрасекаром (см. [3]), использовавшим в качестве уравнения состояния вырожденного электронного газа соотношения (36.26) и (36.27).

Указанные соотношения мы можем записать в виде

P

=

A

f(x)

,

=

B

x^3

,

(37.22)

где

A

=

mc

3h^3

,

B

=

8_em_Hm^3c^3

3h^3

(37.23)

и

f(x)

=

x(2x^3-3)

1+x^2

+

3

arcsh

x

.

(37.24)

Подставляя выражения (37.22) в уравнение механического равновесия (35.5), находим следующее уравнение для определения параметра x:

A

B

1

r^2

d

dr

r^2

x^3

df(x)

dr

=-

4

GB

x^3

.

(37.25)

Легко получить, что

1

x^3

df(x)

dr

=

8

dx^2+1

dr

.

(37.26)

Поэтому, обозначая x^2+1=y, вместо уравнения (37.25) имеем

1

r^2

d

dr

r^2

dy

dr

=-

GB^2

2A

(y^2-1)^3

^/

^2

.

(37.27)

Очевидно, что к уравнению (37.27) необходимо добавить следующие граничные условия:

dy

dr

=

0

при

r

=

0,

(37.28)

y=0

,

1

dP

dr

=-

GM

R^2

при

r

=

R

,

(37.29)

Таким образом, решение рассматриваемого дифференциального уравнения второго порядка должно удовлетворять трём граничным условиям. Поэтому должна существовать некоторая зависимость между параметрами, входящими в уравнение и граничные условия. Это приводит к зависимости между массой и радиусом белого карлика.

Чандрасекар получил указанную зависимость в виде табл. 59, содержащей значения массы, радиуса и средней плотности звезды. Таблица составлена для _e=1 Если величина _e отлична от единицы, то значения M надо умножить на _e^2, значения R на _e^1 и значения на _e.

Таблица 59

Соотношение между массой и радиусом