Курс теоретической астрофизики

Переходя к рассмотрению процесса свечения туманностей с количественной стороны, мы сначала допустим, что атомы обладают только тремя уровнями энергии (1, 2 и 3). Из различных переходов, происходящих под действием излучения звезды, мы рассмотрим два взаимно противоположных циклических процесса:

I.

1

→

3

→

2

→

1

,

II.

1

→

2

→

3

→

1

.

Первый из этих процессов связан с поглощением одного кванта частоты ν₁₃ и с излучением двух квантов меньших частот ν₁₂ и ν₂₃, а второй — с поглощением двух квантов частот ν₁₂ и ν₂₃, и последующим излучением одного кванта большей частоты ν₁₃.

Найдём число процессов первого и второго рода, происходящих в единице объёма туманности за 1 с. Для этого воспользуемся эйнштейновскими коэффициентами переходов 𝐴_𝑘𝑖, 𝐵_𝑖𝑘 и 𝐵_𝑘𝑖 и обозначим через ρ_𝑖𝑘 плотность излучения частоты ν_𝑖𝑘.

Если 𝑛₁ — число атомов в первом состоянии в 1 см³, то число переходов из первого состояния в третье, происходящих в 1 см³ за 1 с, будет равно 𝑛₁𝐵₁₃ρ₁₃. Из третьего состояния возможны переходы (спонтанные и индуцированные) как в первое состояние, так и во второе. Доля интересующих нас переходов во второе состояние равна

𝐴₃₂+𝐵₃₂ρ₂₃

𝐴₃₁+𝐵₃₁ρ₁₃+𝐴₃₂+𝐵₃₂ρ₂₃

.

Из атомов, оказавшихся во втором состоянии, часть перейдёт обратно в третье состояние, поглотив излучение, а часть перейдёт в первое состояние (спонтанно или под действием излучения). Отношение числа переходов из второго состояния в первое к общему числу переходов из второго состояния равно

𝐴₂₁+𝐵₂₁ρ₁₂

𝐵₂₃ρ₂₃+𝐴₂₁+𝐵₂₁ρ₁₂

.

Таким образом, для искомого числа процессов первого рода получаем

𝑁

_I

=

𝑛₁𝐵₁₃ρ₁₃

𝐴₃₂+𝐵₃₂ρ₂₃

𝐴₃₁+𝐵₃₁ρ₁₃+𝐴₃₂+𝐵₃₂ρ₂₃

×

×

𝐴₂₁+𝐵₂₁ρ₁₂

𝐵₂₃ρ₂₃+𝐴₂₁+𝐵₂₁ρ₁₂

.

(22.8)

Аналогично находится число процессов второго рода. Оно оказывается равным

𝑁

_II

=

𝑛₁𝐵₁₂ρ₁₂

𝐵₂₃ρ₂₃

𝐴₂₁+𝐵₂₁ρ₁₂+𝐵₂₃ρ₂₃

×

×

𝐴₃₁+𝐵₃₁ρ₁₃

𝐴₃₁+𝐵₃₁ρ₁₃+𝐴₃₂+𝐵₃₂ρ₂₃

.

(22.9)

Из соотношений (22.8) и (22.9) вытекает следующая формула для отношения числа процессов второго рода к числу процессов первого рода:

𝑁_II

𝑁_I

=

𝐵₁₂ρ₁₂𝐵₂₃ρ₂₃(𝐴₃₁+𝐵₃₁ρ₁₃)

𝐵₁₃ρ₁₃(𝐴₃₂+𝐵₃₂ρ₂₃)(𝐴₂₁+𝐵₂₁ρ₁₂)

.

(22.10)

Чтобы упростить полученную формулу, введём соотношения Эйнштейна:

𝐴

_𝑘𝑖

=

𝐵

_𝑖𝑘

𝑔_𝑖

𝑔_𝑘

σ

_𝑖𝑘

,

𝐵

_𝑘𝑖

=

𝑔_𝑖

𝑔_𝑘

𝐵

_𝑖𝑘

,

(22.11)

где

σ

_𝑖𝑘

=

8πℎν_𝑖𝑘³

𝑐³

,

(22.12)

а 𝑔_𝑖 — статистический вес 𝑖-го состояния (см. § 8). Кроме того, запишем величину ρ_𝑖𝑘 в виде

ρ

_𝑖𝑘

=

𝑊

σ

_𝑖𝑘

ρ

_𝑖𝑘

,

(22.13)

где

ρ

_𝑖𝑘

=

1

.

exp

⎛

⎜

⎝

ℎν

_𝑖𝑘

-1

⎞

⎟

⎠

𝑘𝑇

_∗

(22.14)

В результате формула (22.10) преобразуется к виду

𝑁_II

𝑁_I

=

𝑊

ρ₁₂ρ₂₃(1+𝑊ρ₁₃)

ρ₁₃(1+𝑊ρ₁₂)(1+𝑊ρ₂₃)

.

(22.15)

Когда 𝑊=1, формула (22.15) даёт

1

+1

𝑁_II

𝑁_I

=

ρ

₁₃

=

⎛

⎜

⎝

1

+1

⎞

⎟

⎠

⎛

⎜

⎝

1

+1

⎞

⎟

⎠

ρ

₁₂

ρ

₂₃

exp

⎛

⎜

⎝

ℎν₁₃

𝑘𝑇_∗

⎞

⎟

⎠

=

.

exp

⎛

⎜

⎝

ℎν₁₂

⎞

⎟

⎠

⋅exp

⎛

⎜

⎝

ℎν₂₃

⎞

⎟

⎠

𝑘𝑇

_∗

𝑘𝑇

_∗

(22.16)

Но ν₁₂+ν₂₃=ν₁₃. Поэтому в данном случае 𝑁_II/𝑁_I=1, как и следовало ожидать.

Если 𝑊≪1, то, учитывая, что множитель ρ₁₂ρ₂₃/ρ₁₃ имеет значения порядка единицы, получаем

𝑁_II

𝑁_I

≈

𝑊

.

(22.17)

Таким образом, отношение числа процессов второго рода к числу процессов первого рода оказывается порядка 𝑊. Этот результат обычно называют теоремой Росселанда.

В планетарных туманностях 𝑊≈10⁻¹⁴. Поэтому в данном случае числом процессов второго рода можно совершенно пренебречь по сравнению с числом процессов первого рода. Иначе говоря, процессы превращения квантов больших частот в кванты меньших частот происходят в туманностях несравненно чаще, чем обратные процессы.

4. Определение температур звёзд по линиям водорода.

Выше мы считали, что туманность состоит из атомов, обладающих только тремя уровнями энергии. Теперь рассмотрим свечение реальной туманности, состоящей из атомов водорода.

Вследствие чрезвычайно малой плотности излучения в туманностях подавляющее большинство атомов находится в основном состоянии. Поэтому туманности оказываются непрозрачными для излучения в лаймановской серии и совершенно прозрачными для излучения в бальмеровской, пашеновской и других субординатных сериях. Таким образом, туманность поглощает энергию звезды в частотах лаймановской серии и излучает вместо неё кванты в субординатных сериях (и, в частности, в наблюдаемой нами бальмеровской серии), которые беспрепятственно выходят из туманности. При достаточно большой оптической толщине туманности за границей лаймановской серии она будет светиться в водородных линиях в основном за счёт энергии звезды за границей этой серии (так как энергия, поглощаемая туманностью в лаймановских линиях, будет гораздо меньше).