Курс теоретической астрофизики

Ситон получил более точные решения систем уравнений (24.2) и (24.3). Искомая величина 𝑧_𝑖 была при этом представлена в виде

𝑧

_𝑖

=

𝐶

_𝑖

+

∞

∑

𝑘=𝑖+1

𝑄

_𝑘𝑖

𝐶

_𝑘

,

𝑖-1

∑

𝑘=𝑘₀

𝐴

_𝑖𝑘

(24.5)

где 𝑘₀=1 в случае А и 𝑘₀=2 в случае В, а величины 𝑄_𝑘𝑖 (зависящие только от эйнштейновских коэффициентов спонтанных переходов и от значения 𝑘₀) составляют элементы «каскадной матрицы». Очевидно, что величина 𝑄_𝑘𝑖 определяет вероятность попадания атома на уровень 𝑖 с уровня 𝑘 любым путём. Вычисленные Ситоном значения величины 𝑏_𝑖exp(χ_𝑖/(𝑘𝑇_𝑒)) приведены в табл. 32.

Таблица 32

Значения величины 𝑏_𝑖 exp

⎛

⎜

⎝

χ_𝑖

𝑘𝑇_𝑒

⎞

⎟

⎠

𝑖

𝑇

_𝑒

, K

Случай А

Случай B

10 000

20 000

10 000

20 000

2

0,193

0,315

-

-

3

0,213

0,332

0,668

1,013

4

0,244

0,364

0,540

0,792

5

0,273

0,394

0,519

0,739

6

0,299

0,421

0,520

0,725

7

0,322

0,443

0,529

0,722

8

0,341

0,463

0,540

0,725

9

0,360

0,480

0,552

0,730

10

0,376

0,480

0,552

0,730

15

0,434

0,547

0,605

0,756

20

0,472

0,580

0,635

0,772

25

0,499

0,603

0,656

0,785

30

0,520

0,621

0,673

0,795

Мы видим, что величина 𝑏_𝑖 сильно отличается от единицы (а при 𝑖→∞, как и следовало ожидать, 𝑏_𝑖→1). На этом основании может сложиться впечатление, что в отношении распределения атомов по состояниям туманности близки к термодинамическому равновесию. В действительности это верно только в отношении величин 𝑛_𝑖/𝑛_𝑒𝑛⁺ (при 𝑖≥2 в случае А и при 𝑖≥3 в случае В). Если же рассматривать степень возбуждения атомов 𝑛_𝑖𝑛₁ то эта величина очень далека от своего значения при термодинамическом равновесии. В самом деле, из формул (23.14) и (24.4) мы получаем

𝑛_𝑖

𝑛₁

=

𝑝𝑊

𝑇_∗

𝑇_𝑒

𝑏

_𝑖

𝑔_𝑖

𝑔₁

exp

⎛

⎜

⎝

χ_𝑖

𝑘𝑇_𝑒

-

χ₁

𝑘𝑇_∗

⎞

⎟

⎠

.

(24.6)

Формула (24.6) сильно отличается от формулы Больцмана. Особенно существенно присутствие в правой части формулы (24.6) малого множителя 𝑊. Вследствие этого число возбуждённых атомов в туманности гораздо меньше числа атомов в основном состоянии.

Следует отметить, что система уравнений (24.3) [как и (24.2)], определяющая населённости уровней атома водорода, не является вполне точной. При написании этой системы не было принято во внимание азимутальное вырождение уровней, т.е. наличие при главном квантовом числе 𝑖 ряда состояний с различными азимутальными числами 𝑙. В действительности вместо системы (24.3) мы должны написать следующую систему уравнений для определения чисел 𝑛_𝑖𝑙:

𝑛

_𝑖𝑙

⎡

⎢

⎣

𝑖

∑

𝑘=1

𝐴

_{𝑖𝑙𝑘(𝑙-1)}

+

𝑖

∑

𝑘=𝑙+2

𝐴

_{𝑖𝑙𝑘(𝑙+1)}

⎤

⎥

⎦

=

=

∞

∑

𝑘=𝑖

⎡

⎣

𝑛

_𝑘(𝑙+1)

𝐴

_{𝑘(𝑙+1)𝑖𝑙}

+

𝑛

_𝑘(𝑙-1)

𝐴

_{𝑘(𝑙-1)𝑖𝑙}

⎤

⎦

+

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

𝐶

_𝑖𝑙

(𝑇

_𝑒

)

(

𝑖=3, 4, 5, …,

𝑙=0, 1, 2, …, 𝑖-1

).

(24.7)

Здесь учтено, что разрешены только такие переходы, при которых число 𝑙 меняется на единицу. Система уравнений (24.7) рассматривалась в ряде работ. Один из полученных результатов состоит в том, что замена системы (24.3) системой (24.7) не приводит к значительным изменениям в числах атомов 𝑛_𝑖 (а также и в интенсивностях эмиссионных линий).

Уравнения, определяющие населённости уровней, могут быть составлены не только для водорода, но и для других атомов. Однако для других атомов (кроме водородоподобных ионов) очень трудно найти величины 𝐴_𝑘𝑖 и 𝐶_𝑖(𝑇_𝑒). Поэтому населённости уровней в этих случаях вычислялись приближённо (см. [10]).

2. Интенсивности эмиссионных линий.

Знание населённостей уровней атома даёт возможность вычислить интенсивности эмиссионных линий. Эти вычисления сильно облегчаются полной прозрачностью туманностей для излучения в линиях субординатных серий. Интенсивности линий, возникающих в спектрах туманностей в результате рекомбинаций, зависят только от коэффициентов рекомбинаций 𝐶_𝑖(𝑇_𝑒) и коэффициентов спонтанных переходов 𝐴_𝑘𝑖. Поэтому путём сравнения теории с наблюдениями можно, в частности, проверить правильность квантовомеханических вычислений этих коэффициентов. Такая проверка (представляющая особый интерес в случае сложных атомов) возможна только при изучении туманностей, благодаря крайней простоте осуществляющихся в них физических условий.

Мы сейчас найдём интенсивности эмиссионных линий водорода. Количество энергии, излучаемое туманностью в линии, соответствующей переходу 𝑘→𝑖, за 1 с равно

𝐸

_𝑘𝑖

=

𝐴

_𝑘𝑖

ℎν

_𝑖𝑘

∫

𝑛

_𝑘

𝑑𝑉

,

(24.8)

где интегрирование производится по всему объёму туманности. Представим число атомов 𝑛_𝑘 в виде 𝑛_𝑘=𝑧_𝑘(𝑇_𝑒)𝑛_𝑒𝑛⁺, где величина 𝑧_𝑘(𝑇_𝑒) определяется из системы уравнений (24.2) или (24.3). Если считать, что электронная температура не меняется в туманности, то вместо формулы (24.8) имеем

𝐸

_𝑘𝑖

=

𝑧

_𝑘

𝐴

_𝑘𝑖

ℎν

_𝑖𝑘

∫

𝑛

_𝑘

𝑑𝑉

,

(24.9)

Входящий в полученную формулу интеграл нам не известен, но он общий для всех линий. Поэтому формула (24.9) даёт возможность вычислить относительные интенсивности эмиссионных линий.

В частности, при помощи формулы (24.9) можно найти относительные интенсивности бальмеровских линий, т.е. так называемый бальмеровский декремент. Выражая интенсивности бальмеровских линий в интенсивности линии 𝙷_β (как обычно делается), получаем

𝐸_𝑘₂

𝐸₄₂

=

𝑧_𝑘𝐴_𝑘₂ν₂_𝑘

𝑧₄𝐴₄₂ν₄₂

.

(24.10)

Теоретический бальмеровский декремент (вычисленный Ситоном) приведён в табл. 33.