Курс теоретической астрофизики

Сказанное означает, что в туманностях должна существовать «стратификация» (т.е. слоистость) излучения. Этот теоретический вывод подтверждается наблюдениями: изображения планетарных туманностей, полученные с помощью бесщелевого спектрографа, имеют в разных линиях неодинаковую величину. При этом, как и следовало ожидать, размеры изображения в общем тем меньше, чем больше потенциал ионизации атома. Например, размеры изображений туманностей в линиях ионизованного гелия значительно меньше, чем в линиях нейтрального гелия.

4. Энергетический баланс свободных электронов.

При выводе ионизационной формулы мы считали, что в каждом элементарном объёме туманности число свободных электронов не меняется с течением времени. Теперь рассмотрим ещё одно важное уравнение стационарности, выражающее собой закон сохранения энергии свободных электронов. Это позволит получить зависимость между температурой звезды и электронной температурой туманности [4].

Мы будем считать, что свободные электроны возникают при фотоионизации атомов водорода. Среднюю энергию, получаемую электроном при фотоионизации, обозначим через ε. Так как число ионизаций должно равняться числу рекомбинаций, то количество энергии, приобретаемое электронами в 1 см³ за 1 с будет равно

ε

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

∞

∑

1

𝐶

_𝑖

.

Свободные электроны расходуют свою энергию разными путями. Некоторая часть их энергии тратится на излучение в непрерывном спектре при рекомбинациях и свободно-свободных переходах. Эту часть энергии мы обозначим через

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

⎛

⎜

⎝

∞

∑

1

𝐶

_𝑖

ε

_𝑖

+

𝑓

⎞

⎟

⎠

,

где ε_𝑖 — средняя энергия свободного электрона, захваченного на 𝑖-й уровень. Другая часть энергии свободных электронов, которую мы обозначим через 𝐸, расходуется на возбуждение свечения в линиях «небулия» (в предыдущем параграфе приближённо считалось, что на это идёт вся энергия, получаемая свободными электронами при фотоионизациях). Наконец, свободные электроны могут тратить свою энергию на возбуждение атомов водорода. Хотя энергия, требуемая для возбуждения атома водорода, и велика, но этих атомов очень много, вследствие чего потерю энергии свободных электронов при столкновениях с ними надо принимать во внимание. Мы обозначим через 𝑛₁𝑛_𝑒𝐷_𝑖 число возбуждений 𝑖-го уровня водорода и через 𝑛₁𝑛_𝑒𝐷_𝑐 — число ионизаций атома водорода, происходящих в 1 см³ за 1 с при столкновениях со свободными электронами. Тогда энергия, теряемая свободными электронами при этих столкновениях, будет равна

𝑛₁𝑛

_𝑒

⎛

⎜

⎝

∞

∑

2

𝐷

_𝑖

ℎ

ν₁

_𝑖

+

𝐷

_𝑐

ℎ

ν₁

_𝑐

⎞

⎟

⎠

.

На основании закона сохранения энергии имеем

ε

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

∞

∑

1

𝐶

_𝑖

=

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

⎛

⎜

⎝

∞

∑

1

𝐶

_𝑖

ε

_𝑖

+

𝑓

⎞

⎟

⎠

+𝐸+

+

𝑛₁𝑛

_𝑒

⎛

⎜

⎝

∞

∑

2

𝐷

_𝑖

ℎ

ν₁

_𝑖

+

𝐷

_𝑐

ℎ

ν₁

_𝑐

⎞

⎟

⎠

.

(23.24)

Будем для простоты считать, что температура в туманности везде одинакова. Тогда, интегрируя соотношение (23.24) по всему объёму туманности, находим

ε

∞

∑

1

𝐶

_𝑖

∫

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

𝑑𝑉

=

⎛

⎜

⎝

∞

∑

1

𝐶

_𝑖

ε

_𝑖

+

𝑓

⎞

⎟

⎠

∫

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

𝑑𝑉

+

+

∫

𝐸

𝑑𝑉

+

⎛

⎜

⎝

∞

∑

2

𝐷

_𝑖

ℎ

ν₁

_𝑖

+

𝐷

_𝑐

ℎ

ν₁

_𝑐

⎞

⎟

⎠

∫

𝑛₁

𝑛

_𝑒

𝑑𝑉

,

(23.25)

где ε — энергия, получаемая электроном при фотоионизации, средняя для всей туманности.

Энергию, излучаемую туманностью в линиях «небулия», удобно выразить через энергию, излучаемую туманностью в какой-либо бальмеровской линии, например, в линии 𝙷_β. Делая это, имеем

∫

𝐸

𝑑𝑉

=

𝐼_Neb

𝐼_𝙷β

𝐴₄₂

ℎ

ν₂₄

∫

𝑛₄

𝑑𝑉

,

(23.26)

где 𝐼_Neb/𝐼_𝙷β — отношение интенсивностей линий «небулия» и 𝙷_β в спектре туманности. Но величина 𝑛_𝑘, представляющая собой число атомов водорода в 𝑘-м состоянии в 1 см³, должна быть пропорциональна 𝑛_𝑒𝑛⁺, так как заполнение уровней атома водорода происходит в результате рекомбинаций. Поэтому, вводя обозначение 𝑛_𝑘=𝑧_𝑘𝑛_𝑒𝑛⁺ (об определении чисел 𝑧_𝑘 см. в следующем параграфе), вместо (23.26) получаем

∫

𝐸

𝑑𝑉

=

𝐼_Neb

𝐼_𝙷β

𝐴₄₂

ℎ

ν₂₄

𝑧₄

∫

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

𝑑𝑉

.

(23.27)

Подставляя (23.27) в (23.25), находим

ε

∞

∑

1

𝐶

_𝑖

=

∞

∑

1

𝐶

_𝑖

ε

_𝑖

+𝑓+

𝐼_Neb

𝐼_𝙷β

𝐴₄₂

ℎ

ν₂₄

𝑧₄

+

+

𝑛₁

𝑛⁺

⎛

⎜

⎝

∞

∑

2

𝐷

_𝑖

ℎ

ν₁

_𝑖

+

𝐷

_𝑐

ℎ

ν₁

_𝑐

⎞

⎟

⎠

,

(23.28)

где

𝑛₁

𝑛⁺

=

∫𝑛₁𝑛_𝑒𝑑𝑉

∫𝑛_𝑒𝑛⁺𝑑𝑉

.

(23.29)

Уравнение (23.28) можно рассмотреть для двух предельных случаев. В первом случае предположим, что оптическая толщина туманности в лаймановской континууме мала (τ₀≪1). Тогда ионизация атомов водорода будет происходить в основном под действием излучения, приходящего непосредственно от звезды, и величина ε будет равна

ε

=

∞

∫

ν₁ (ℎν-ℎν₁)

ρ_ν⃰

ℎν 𝑘₁_ν 𝑑ν

∞

∫

ν₁

ρ_ν⃰

ℎν 𝑘₁_ν 𝑑ν

(23.30)

Для водорода, как известно, 𝑘₁_ν∼1/ν³. Поэтому, представляя величину ε в виде

ε

=

𝐴

𝑘𝑇

_∗

,

(23.31)

где 𝑘 — постоянная Больцмана, для величины 𝐴 получаем

𝐴

=

∞

∫

𝑥₀

𝑑𝑥

𝑒^𝑥-1

∞

∫

𝑥₀

𝑑𝑥

𝑥(𝑒^𝑥-1)

-

𝑥₀

,

(23.32)

где 𝑥₀=ℎν₁/𝑘𝑇_∗.