Курс теоретической астрофизики

𝑓(𝑣)

=

4π𝑚³

(2π𝑚𝑘𝑇_𝑒)³^/²

exp

⎛

⎜

⎝

-

𝑚𝑣²

2𝑘𝑇_𝑒

⎞

⎟

⎠

𝑣²

.

(23.6)

Чтобы вычислить величину 𝐶_𝑖(𝑇_𝑒) по формуле (23.5), надо знать коэффициент поглощения для данного атома. Мы сейчас найдём 𝐶_𝑖(𝑇_𝑒) для водорода. В этом случае коэффициент поглощения 𝑘_𝑖ν Даётся формулой (5.6). Подставляя (5.6) в (23.5) и пользуясь также формулами (23.2) и (23.6), получаем

𝐶

_𝑖

(𝑇

_𝑒

)

=

2⁹π⁵

(6π)³^/²

𝑒¹⁰

𝑚²𝑐³ℎ³

⎛

⎜

⎝

𝑚

𝑘𝑇_𝑒

⎞³/₂

⎟

⎠

1

𝑖³

×

×

exp

⎛

⎜

⎝

χ_𝑖

𝑘𝑇_𝑒

⎞

⎟

⎠

𝐸₁

⎛

⎜

⎝

χ_𝑖

𝑘𝑇_𝑒

⎞

⎟

⎠

,

(23.7)

где 𝐸₁𝑥 — интегральная показательная функция.

Формулу (23.7) можно переписать в виде

𝐶

_𝑖

(𝑇

_𝑒

)

=

3,22⋅10⁻⁶

𝑀

_𝑖

(𝑇

_𝑒

)

,

(23.8)

где

𝑀

_𝑖

(𝑇)

=

1

𝑇³^/² 𝑖³

exp

⎛

⎜

⎝

χ_𝑖

𝑘𝑇

⎞

⎟

⎠

𝐸₁

⎛

⎜

⎝

χ_𝑖

𝑘𝑇

⎞

⎟

⎠

.

(23.9)

Значения функции 𝑀_𝑖(𝑇)⋅10⁸ приведены в табл. 27.

Аналогично могут быть найдены коэффициенты рекомбинации для других атомов.

Таблица 27

Значения функции 𝑀_𝑖(𝑇)⋅10⁸

𝑖

𝑇, 𝐾

1 000

5 000

10 000

20 000

50 000

1

20,0

8,8

6,0

3,9

2,3

2

9,8

3,9

2,7

1,6

0,78

3

6,4

2,5

1,4

0,86

0,37

4

4,7

1,6

0,94

0,52

0,21

5

3,5

1,1

0,64

0,34

0,13

6

2,9

0,86

0,46

0,23

0,088

7

2,3

0,66

0,35

0,17

0,062

8

1,9

0,52

0,26

0,13

0,046

2. Степень ионизации в туманности.

При термодинамическом равновесии степень ионизации атомов определяется формулой Саха. В туманностях нет термодинамического равновесия, поэтому мы должны вывести новую ионизационную формулу. Для этого мы воспользуемся тем, что туманности стационарны, т.е. физические условия в них не меняются с течением времени (на самом деле изменение происходит, но очень медленно). Точнее говоря, будем считать, что в каждом объёме число ионизаций равно числу рекомбинаций.

Так как ионизация атомов в туманностях происходит преимущественно из основного состояния, то число ионизаций, совершающихся в 1 см³ за 1 с под действием излучения в интервале частот от ν до ν+𝑑ν равно

𝑛₁

𝑘

_1ν

𝑐ρ_ν

ℎν

𝑑ν

.

Плотность излучения в туманности ρ_ν определяется формулой (22.2). Поэтому для полного числа ионизаций, происходящих в единице объёма за единицу времени, получаем

𝑛₁

𝑊

∞

∫

ν₁

𝑘

_1ν

𝑐ρ_ν^⃰

ℎν

𝑑ν

,

где ν₁ — частота ионизации из основного состояния.

Что же касается рекомбинаций, то они происходят на все уровни. Поэтому полное число рекомбинаций, случающихся в 1 см³ за 1 с, будет равно

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

∞

∑

1

𝐶

_𝑖

(𝑇

_𝑒

)

.

Приравнивая друг к другу два последних выражения, имеем

𝑛₁

𝑊

∞

∫

ν₁

𝑘

_1ν

𝑐ρ_ν^⃰

ℎν

𝑑ν

=

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

∞

∑

1

𝐶

_𝑖

(𝑇

_𝑒

)

.

(23.10)

Эта формула и даёт возможность определить степень ионизации атомов в туманности, если известны величины 𝑘_1ν и 𝐶_𝑖(𝑇_𝑒). Однако её можно сильно упростить, воспользовавшись соотношением (23.5). Предварительно перепишем формулу (23.10) в виде

𝑝

𝑛₁

𝑊

∞

∫

ν₁

𝑘

_1ν

𝑐ρ_ν^⃰

ℎν

𝑑ν

=

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

𝐶₁(𝑇

_𝑒

)

,

(23.11)

где через 𝑝 обозначена доля захватов на первый уровень. Принимая во внимание соотношение (23.5), а также считая, что величина ρ_ν^⃰. даётся формулой Планка с температурой 𝑇_∗ а величина 𝑓(𝑣) — формулой Максвелла с температурой 𝑇_𝑒 вместо (23.11) находим

𝑝

𝑛₁

𝑊

∞

∫

ν₁

𝑘

_1ν

ν² 𝑑ν

=

exp

⎛

⎜

⎝

ℎν

-1

⎞

⎟

⎠

𝑘𝑇

_∗

=

𝑔₁

𝑔⁺

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

𝑚ℎ³

2(2π𝑚𝑘𝑇_𝑒)³^/²

×

×

∞

∫

0

𝑘

_1ν

ν²

exp

⎛

⎜

⎝

-

𝑚𝑣²

2𝑘𝑇_𝑒

⎞

⎟

⎠

𝑣

𝑑𝑣

.

(23.12)

Чтобы вычислить интегралы, входящие в соотношение (23.12), надо знать зависимость 𝑘_1ν от частоты. Для разных атомов эта зависимость различна, однако мы примем, что для всех атомов 𝑘_1ν∼1/ν². Происходящая от этого ошибка сравнительно невелика, а вычисления существенно упрощаются. После выполнения интегрирования формула (23.12) принимает вид

𝑛_𝑒𝑛⁺

𝑛₁

=

𝑔⁺

𝑔₁

𝑝𝑊

⎛

⎜

⎝

𝑇_𝑒

𝑇_∗

⎞½

⎟

⎠

2(2π𝑚𝑘𝑇_∗)³^/²

ℎ³

×

×

ln

⎛

⎜

⎝

1-

exp

⎧

⎪

⎩

-

ℎν₁

𝑘𝑇_∗

⎫

⎪

⎭

⎞-1

⎟

⎠

.

(23.13)

В обычно встречающихся на практике случаях ℎν₁/𝑘𝑇_∗≫1. Поэтому вместо (23.13) имеем

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

𝑛₁

=

𝑔⁺

𝑔₁

𝑝𝑊

⎛

⎜

⎝

𝑇_𝑒

𝑇_∗

⎞½

⎟

⎠

2(2π𝑚𝑘𝑇_∗)³^/²

ℎ³

exp

⎧

⎪

⎩

-

ℎν₁

𝑘𝑇_∗

⎫

⎪

⎭

.

(23.14)

Это окончательный вид формулы ионизации для туманностей.

Мы видим, что формула (23.14) отличается от формулы Саха наличием множителя 𝑝𝑊(𝑇_𝑒/𝑇_∗)¹^/² в правой части. Этот множитель для газовых туманностей очень мал. Однако это не значит, что степень ионизации 𝑛⁺/𝑛₁ также мала. В действительности степень ионизации в туманностях может быть весьма значительной, так как малость коэффициента дилюции 𝑊 компенсируется малостью концентрации свободных электронов 𝑛_𝑒.

В планетарных туманностях, как мы знаем, 𝑊≈10⁻¹⁴, а ниже будет показано, что 𝑛_𝑒≈10⁴ см⁻³. В этом случае формула (23.14) даёт, что для водорода степень ионизации будет больше единицы при 𝑇_∗>20 000 K. В том же случае для гелия 𝑛⁺/𝑛₁>1 при 𝑇_∗>33 000 K.

3. Ионизация в туманности большой оптической толщины.

Формула (23.14) справедлива лишь тогда, когда оптическая толщина туманности за границей основной серии данного атома меньше единицы. В противном случае необходимо учитывать поглощение излучения звезды, а также наличие диффузного излучения туманности, происходящего от рекомбинаций на первый уровень.