Курс теоретической астрофизики

Поглощение излучения звезды на пути до данного места туманности может быть учтено путём введения в правую часть формулы (23.14) множителя 𝑒^-τ, где τ — оптическое расстояние от звезды за границей основной серии, соответствующее некоторому среднему коэффициенту поглощения. Что же касается учёта ионизаций под действием диффузного излучения туманности, то его можно приближённо выполнить, отбрасывая в правой части формулы (23.10) член, соответствующий рекомбинациям на первый уровень (так как в туманности большой оптической толщины рекомбинации на первый уровень компенсируются ионизациями при поглощении диффузного излучения). Легко видеть, что в таком случае в правую часть формулы (23.14) вместо множителя 𝑝 должен входить множитель 𝑝/(1-𝑝). Для атома водорода доля захватов на первый уровень близка к половине, вследствие чего множитель 𝑝/(1-𝑝) близок к единице. Мы будем считать, что этот множитель примерно равен единице и для других атомов. Принимая во внимание все сказанное, можно переписать формулу (23.14) в следующем виде:

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

𝑛₁

=

𝑔⁺

𝑔₁

𝑊

⎛

⎜

⎝

𝑇_𝑒

𝑇_∗

⎞½

⎟

⎠

2(2π𝑚𝑘𝑇_∗)³^/²

ℎ³

×

×

exp

⎧

⎪

⎩

-

ℎν₁

𝑘𝑇_∗

⎫

⎪

⎭

⋅

𝑒

^-τ

.

(23.15)

Представляет интерес вопрос, как меняется степень ионизации 𝑛⁺/𝑛₁, с изменением расстояния 𝑟 от звезды? Чтобы упростить рассмотрение этого вопроса, мы возьмём планетарную туманность, толщина которой мала по сравнению с её радиусом. В гаком случае коэффициент дилюции в туманности можно считать постоянным (𝑊=const). Кроме того, примем, что концентрация атомов в туманности также постоянна (𝑛=const).

Наш расчёт будет относиться к водороду. Однако результаты в принципе будут справедливы для всех атомов, которые производят сильное поглощение за границами своих основных серий в туманностях.

Обозначим через 𝑥 долю ионизованных атомов, т.е. положим

𝑛⁺

=

𝑥𝑛

,

𝑛₁

=

(1-𝑥)𝑛

,

𝑛

_𝑒

=

𝑥𝑛

.

(23.16)

Тогда вместо формулы (23.15); получаем

𝑥²

1-𝑥

=

𝑔⁺

𝑔₁

𝑊

𝑛

⎛

⎜

⎝

𝑇_𝑒

𝑇_∗

⎞½

⎟

⎠

2(2π𝑚𝑘𝑇_∗)³^/²

ℎ³

×

×

exp

⎧

⎪

⎩

-

ℎν₁

𝑘𝑇_∗

⎫

⎪

⎭

⋅

𝑒

^-τ

.

(23.17)

Входящее в эту формулу оптическое расстояние τ равно

τ

=

𝑛𝑘

𝑟

∫

𝑟₁

(1-𝑥)

𝑑𝑟

,

(23.18)

где 𝑘 — средний коэффициент поглощения и 𝑟₁ — радиус внутренней границы туманности.

Из соотношений (23.17) и (23.18) легко получить дифференциальное уравнение, связывающее величины 𝑥 и 𝑟. Логарифмируя, а затем дифференцируя соотношение (23.17), находим

⎛

⎜

⎝

2

𝑥

+

1

1-𝑥

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

=-

𝑑τ

.

(23.19)

При помощи (23.18) отсюда имеем

⎛

⎜

⎝

2

𝑥

+

1

1-𝑥

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

1-𝑥

=-

𝑛𝑘

𝑑𝑟

.

(23.20)

Интегрирование уравнения (23.20) даёт

2 ln

𝑥₀

1-𝑥₀

1-𝑥

𝑥

+

1

1-𝑥₀

-

1

1-𝑥

=

𝑛𝑘

(𝑟-𝑟₁)

,

(23.21)

где 𝑥₀ — значение величины 𝑥 при τ=0.

Таблица 28

Доля ионизованных атомов 𝑥

в зависимости от 𝑟 и τ

𝑥

𝑛𝑘(𝑟-𝑟₁)

τ

0,999

0

0

0,997

669

1,1

0,990

907

2,3

0,970

963

3,5

0,900

999

4,7

0,700

1009

6,4

0,500

1012

7,6

В таблице 28 в виде примера приведены значения величины 𝑛𝑘(𝑟-𝑟₁), вычисленные по формуле (23.21) для разных значений 𝑥. При этом принято, что 1-𝑥₀=0,001. Там же даны значения величины τ, найденные по формуле

τ

=

ln

⎛

⎜

⎝

𝑥₀

𝑥

⎞²

⎟

⎠

1-𝑥

1-𝑥₀

,

(23.22)

вытекающей из (23.17).

Из приведённых формул и из таблицы видно, что величина 𝑥 остаётся близкой к единице до значения 𝑟, определяемого формулой

𝑛𝑘(𝑟-𝑟₁)

≈

1

1-𝑥₀

,

(23.23)

после чего резко убывает на сравнительно небольшом интервале изменения 𝑟. Значения 𝑟, даваемые формулой (23.23), соответствуют значениям τ порядка нескольких единиц.

Полученный результат вполне понятен из физических соображений. Когда оптическое расстояние τ становится порядка единицы, происходит уменьшение степени ионизации, т.е. возрастание числа нейтральных атомов. В свою очередь рост числа нейтральных атомов ведёт к увеличению оптического расстояния τ.

Таким образом, туманность может быть разделена на две области: внутреннюю, в которой степень ионизации велика (𝑛⁺/𝑛₁≫1) и внешнюю, в которой степень ионизации мала (𝑛⁺/𝑛₁≪1), с весьма резкой границей между ними. Первая область светится в линиях данного атома, возникающих в результате фотоионизаций и рекомбинаций, вторая в них не светится. В случае атома водорода первая из этих областей называется обычно зоной 𝙷 II, вторая — зоной 𝙷 I (рис. 31).

Рис. 31

Если температура звезды достаточно высока, чтобы вызвать вторую ионизацию данного атома, то туманность может быть разбита на три области. В первой, ближайшей к звезде области существуют в основном дважды ионизованные атомы и свечение происходит в линиях однажды ионизованного атома. В следующей области находятся в основном однажды ионизованные атомы и она светится в линиях нейтрального атома. В последней области содержатся лишь нейтральные атомы и она совсем не светится в линиях данного элемента, имеющих рекомбинационное происхождение.