Курс теоретической астрофизики

С другой стороны, энергия, излучаемая туманностью в линиях «небулия» за 1 с, может быть представлена в виде

4π𝑟

_∗

²

∑

Neb

𝐴

_𝑖

π𝐼

_ν𝑖

^⃰

ν

_𝑖

,

где 𝐴_𝑖 — величины, определённые формулой (22.20), а суммирование ведётся по всем линиям «небулия», возбуждаемым электронным ударом.

При сделанных предположениях два последних количества должны быть равны друг другу, т.е. должно быть

∞

∫

ν₀

𝐼

_ν

^⃰

(

ν

-

ν₀

)

𝑑ν

ν

=

∑

Neb

𝐴

_𝑖

π𝐼

_ν𝑖

^⃰

ν

_𝑖

.

(22.31)

Заменяя здесь величину 𝐼_ν^⃰ планковской интенсивностью, получаем

∞

∫

ν₀

ν²(ν-ν₀)

𝑑ν

=

∑

Neb

𝐴

_𝑖

ν

_𝑖

⁴

,

exp

⎛

⎜

⎝

ℎν

-1

⎞

⎟

⎠

exp

⎛

⎜

⎝

ℎν

_𝑖

-1

⎞

⎟

⎠

𝑘𝑇

_∗

𝑘𝑇

_∗

(22.32)

или, воспользовавшись обозначениями (22.26),

∞

∑

𝑥₀

𝑥²(𝑥-𝑥₀)

𝑒^𝑥-1

𝑑𝑥

=

∑

Neb

𝐴

_𝑖

𝑥_𝑖⁴

𝑒^𝑥_𝑖-1

(22.33)

Формула (22.33) даёт возможность определить температуру звезды 𝑇_∗, если известны из наблюдений величины 𝐴_𝑖 для линий «небулия».

Применив данный метод к определению температур ядер планетарных туманностей, Занстра получил температуру 39 000 K для NGC6543, 38 000 K для NGC6552 и 50 000 K для NGC 7009. Мы видим, что эти значения температур весьма близки к приведённым выше значениям 𝑇_∗, найденным по линиям водорода.

Для грубой оценки температур звёзд Занстра применил изложенный метод в упрощённом виде. Пользуясь формулой (22.33) и тем фактом, что линии 𝙽₁ и 𝙽₂ определяют собой главную часть визуальной светимости туманности, он получил зависимость между температурой звезды 𝑇_∗ и разностью звёздных величин ядра и туманности 𝑚_∗-𝑚_𝑛. Очевидно, что чем больше эта разность, тем выше температура звезды. По наблюдённым значениям разности 𝑚_∗-𝑚_𝑛 были определены температуры большого числа ядер туманностей. Оказалось, что в некоторых случаях эти температуры достигают 100 000 K. Высокие температуры звёзд, получаемые этим способом, подтверждаются, как правило, и другими признаками, в частности, большой интенсивностью линий 𝙷𝚎 II в спектрах туманностей.

Изложенные в этом параграфе методы определения температур звёзд широко применяются в астрофизике. При помощи этих методов определяют не только температуры ядер туманностей, но и температуры звёзд с яркими линиями в спектрах: звёзд классов Be, Вольфа — Райе, новых и др.

§ 23. Ионизация атомов

1. Число рекомбинаций.

Как было выяснено, в газовых туманностях происходит ионизация атомов под действием излучения горячих звёзд. Вместе с тем в туманностях происходят и обратные процессы — захваты ионами свободных электронов, т.е. рекомбинации атомов. Число ионизаций может быть определено при помощи коэффициента поглощения в непрерывном спектре, введённого в § 5. Теперь мы получим формулы для определения числа рекомбинаций.

Пусть 𝑛⁺ и 𝑛_𝑒 — число ионов и число свободных электронов в 1 см³ соответственно, а 𝑓(𝑣) 𝑑𝑣 — доля электронов со скоростями от 𝑣 до 𝑣+𝑑𝑣. Обозначим через β_𝑖(𝑣) эффективное поперечное сечение для захвата электрона со скоростью 𝑣 на 𝑖-й уровень. Тогда число захватов электронов со скоростями от 𝑣 до 𝑣+𝑑𝑣, происходящих в 1 см³ за 1 с, будет равно

𝑛⁺𝑛

_𝑒

β

_𝑖

(𝑣)

𝑓(𝑣)

𝑣

𝑑𝑣

.

Полное число рекомбинаций в 1 см³ за 1 с на 𝑖-уровень мы представим в виде 𝑛_𝑒𝑛⁺𝐶_𝑖(𝑇_𝑒), где 𝑇_𝑒 — температура электронного газа. Очевидно, что

𝐶

_𝑖

(𝑇

_𝑒

)

=

∞

∫

0

β

_𝑖

(𝑣)

𝑓(𝑣)

𝑣

𝑑𝑣

.

(23.1)

Величина β_𝑖(𝑣) связана с коэффициентом поглощения в непрерывном спектре атомом, находящимся в 𝑖-м состоянии. Для установления этой связи рассмотрим состояние термодинамического равновесия. В этом случае имеет место детальное равновесие, при котором любой процесс уравновешивается обратным процессом. В частности, число ионизаций, происходящих с 𝑖-го уровня при поглощении квантов с частотами от ν до ν+𝑑ν, должно равняться числу захватов на этот уровень электронов со скоростями от 𝑣 до 𝑣+𝑑𝑣 причём

ℎν

=

1

2

𝑚𝑣²

+

χ

_𝑖

.

(23.2)

Число ионизаций с 𝑖-го уровня при поглощении квантов с частотами от ν до ν+𝑑ν в 1 см³ за 1 с равно

𝑛

_𝑖

𝑘

_𝑖ν

⎛

⎜

⎝

1-exp

⎧

⎪

⎩

-

ℎν

𝑘𝑇

⎫

⎪

⎭

⎞

⎟

⎠

𝑐ρ_ν

ℎν

𝑑ν

,

где 𝑛_𝑖 — число атомов в 𝑖-м состоянии, 𝑘_𝑖ν — коэффициент поглощения, рассчитанный на один атом (множитель в скобках учитывает отрицательное поглощение), ρ_ν — плотность излучения частоты ν. На основании принципа детального равновесия имеем

𝑛⁺𝑛

_𝑒

β

_𝑖

(𝑣)

𝑓(𝑣)

𝑣

𝑑𝑣

=

𝑛

_𝑖

𝑘

_𝑖ν

⎛

⎜

⎝

1-exp

⎧

⎪

⎩

-

ℎν

𝑘𝑇

⎫

⎪

⎭

⎞

⎟

⎠

𝑐ρ_ν

ℎν

𝑑ν

.

(23.3)

Как известно, при термодинамическом равновесии функция 𝑓(𝑣) определяется формулой Максвелла, плотность излучения ρ_ν — формулой Планка и распределение атомов по состояниям — формулами Больцмана и Саха. При помощи перечисленных формул из соотношения (23.3) получаем

β

_𝑖

(𝑣)

=

ℎ²ν²

𝑐²𝑚²𝑣²

𝑔_𝑖

𝑔⁺

𝑘

_𝑖ν

,

(23.4)

где 𝑔_𝑖 — статистический вес 𝑖-го состояния данного атома, и 𝑔⁺ — статистический вес основного состояния иона.

Формула (23.4) и даёт искомую связь между величинами β_𝑖(𝑣) и 𝑘_𝑖ν. Хотя при выводе её предполагалось термодинамическое равновесие, но она верна, разумеется, всегда (так как вероятности поглощения и излучения квантов не зависят от распределения атомов по состояниям и квантов по частотам).

Подставляя (23.4) в (23.1), получаем следующее выражение для коэффициента рекомбинации:

𝐶

_𝑖

(𝑇

_𝑒

)

=

𝑔_𝑖

𝑔⁺

ℎ²

𝑐²𝑚²

∞

∫

0

ν²

𝑣

𝑘

_𝑖ν

𝑓(𝑣)

𝑑𝑣

.

(23.5)

Здесь функция 𝑓(𝑣) даётся формулой Максвелла при температуре 𝑇_𝑒, т.е.