Курс теоретической астрофизики

Следует, однако, отметить существенную особенность белых карликов. В теории Эмдена постоянная 𝐶 заранее считается неизвестной и лишь потом выражается через 𝑀, 𝑅 и 𝑛 формулой (35.24). В случае же белых карликов величина 𝐶 даётся формулой (37.19). Так как указанные выражения для 𝐶 должны быть равны друг другу, то мы приходим к выводу, что масса и радиус белого карлика связаны между собой. Именно, из (35.24) (при 𝑛=³/₂) и (37.19) находим

𝑅

=

2,8⋅10⁹

μ_𝑒⁵^/³

⎛

⎜

⎝

𝑀_☉

𝑀

⎞¹/₃

⎟

⎠

.

(37.21)

Из соотношения (37.21) видно, что чем больше масса белого карлика, тем больше его средняя плотность.

Как уже сказано, уравнение состояния (37.18) справедливо лишь для электронов, скорости которых малы по сравнению со скоростью света. Это значит, что приведённые результаты относятся только к белым карликам со сравнительно небольшими плотностями (т.е. со сравнительно малыми массами). Более общая теория белых карликов была дана Чандрасекаром (см. [3]), использовавшим в качестве уравнения состояния вырожденного электронного газа соотношения (36.26) и (36.27).

Указанные соотношения мы можем записать в виде

𝑃

=

𝐴

𝑓(𝑥)

,

ρ

=

𝐵

𝑥³

,

(37.22)

где

𝐴

=

π𝑚⁴𝑐⁵

3ℎ³

,

𝐵

=

8πμ_𝑒𝑚_𝙷𝑚³𝑐³

3ℎ³

(37.23)

и

𝑓(𝑥)

=

𝑥(2𝑥³-3)

√

1+𝑥²

+

3

arcsh

𝑥

.

(37.24)

Подставляя выражения (37.22) в уравнение механического равновесия (35.5), находим следующее уравнение для определения параметра 𝑥:

𝐴

𝐵

1

𝑟²

𝑑

𝑑𝑟

⎛

⎜

⎝

𝑟²

𝑥³

𝑑𝑓(𝑥)

𝑑𝑟

⎞

⎟

⎠

=-

4π

𝐺𝐵

𝑥³

.

(37.25)

Легко получить, что

1

𝑥³

𝑑𝑓(𝑥)

𝑑𝑟

=

8

𝑑√𝑥²+1

𝑑𝑟

.

(37.26)

Поэтому, обозначая √𝑥²+1=𝑦, вместо уравнения (37.25) имеем

1

𝑟²

𝑑

𝑑𝑟

⎛

⎜

⎝

𝑟²

𝑑𝑦

𝑑𝑟

⎞

⎟

⎠

=-

π𝐺𝐵²

2𝐴

(𝑦²-1)³

^/

²

.

(37.27)

Очевидно, что к уравнению (37.27) необходимо добавить следующие граничные условия:

𝑑𝑦

𝑑𝑟

=

0

при

𝑟

=

0,

(37.28)

𝑦=0

,

1

ρ

𝑑𝑃

𝑑𝑟

=-

𝐺𝑀

𝑅²

при

𝑟

=

𝑅

,

(37.29)

Таким образом, решение рассматриваемого дифференциального уравнения второго порядка должно удовлетворять трём граничным условиям. Поэтому должна существовать некоторая зависимость между параметрами, входящими в уравнение и граничные условия. Это приводит к зависимости между массой и радиусом белого карлика.

Чандрасекар получил указанную зависимость в виде табл. 59, содержащей значения массы, радиуса и средней плотности звезды. Таблица составлена для μ_𝑒=1 Если величина μ_𝑒 отлична от единицы, то значения 𝑀 надо умножить на μ_𝑒⁻², значения 𝑅 на μ_𝑒⁻¹ и значения ρ на μ_𝑒.

Таблица 59

Соотношение между массой и радиусом

для белых карликов

𝑀/𝑀

_☉

𝑅

в см

ρ

в г/см

³

5,75

0

∞

5,51

4,13⋅10⁸

3,70⋅10⁷

5,32

5,44⋅10⁸

1,57⋅10⁷

4,87

7,69⋅10⁸

5,08⋅10⁶

4,33

9,92⋅10⁸

2,10⋅10⁶

3,54

1,29⋅10⁹

7,90⋅10⁵

2,95

1,51⋅10⁹

4,04⋅10⁵

2,45

1,72⋅10⁹

2,29⋅10⁵

2,02

1,93⋅10⁹

1,34⋅10⁵

1,62

2,15⋅10⁹

7,70⋅10⁴

0,88

2,79⋅10⁹

1,92⋅10⁴

0

∞

0

Путём решения уравнения (37.27) была также получена величина 𝑦, а значит, и величин; ρ и 𝑃 в виде функций от 𝑟 при различных значениях 𝑀. Таким образом, для каждой массы существует свой радиус и своя структура звезды.

При малых массах зависимость между 𝑀 и 𝑅, даваемая табл. 59, переходит в соотношение (37.21). С увеличением 𝑀 эта зависимость отклоняется от соотношения (37.21). Однако масса звезды, состоящей из вырожденного газа, не может быть сколь угодно большой. Это важное утверждение легко доказать. Когда средняя плотность звезды возрастает, то уравнение состояния газа переходит в уравнение (36.28), которое можно записать в виде

𝑃

=

𝐶

ρ⁴

^/

³

,

(37.30)

где

𝐶

=

1

8

⎛

⎜

⎝

3

π

⎞¹/₃

⎟

⎠

𝑐ℎ

(μ_𝑒𝑚_𝙷)⁴^/³

.

(37.31)

Следовательно, белый карлик по своей структуре приближается к политропному шару, для которого 𝑛=3. Определение величины 𝐶 при 𝑛=3 по формуле (35.24) даёт, что эта величина зависит только 𝑀, но не зависит от 𝑅. Приравняв друг другу выражения для 𝐶, даваемые формулами (35.24) и (37.31), получаем для массы значение, равное

𝑀

=

5,75

μ

_𝑒

⁻²

𝑀

_☉

.

(37.32)

Это значение массы, называемое пределом Чандрасекара, соответствует случаю, когда ρ→∞ и 𝑅→0.

Наиболее важный результат теории белых карликов состоит в полученной для них зависимости между массами и радиусами. Представляет большой интерес сравнение теории с наблюдениями, однако, к сожалению, наблюдательные данные очень немногочисленны. К настоящему времени известны массы только трёх белых карликов: 0,98 𝑀_☉ у Сириуса В, 0,65 𝑀_☉ у Проциона В и 0,45 𝑀_☉ 40 Эридана В. Все эти звёзды входят в двойные системы, и их массы определены на основании законов Кеплера. Радиус звезды находится, как известно, по её абсолютной величине и поверхностной температуре, определённой по виду спектра. К сожалению, радиус спутника Сириуса найти трудно вследствие сильного влияния на его спектр излучения самого Сириуса. Радиусы спутника Проциона и 40 Эридана В оказались равными 0,010 𝑅_☉ и 0,016 𝑅_☉ соответственно. Сопоставление наблюдательных данных с результатами расчётов, приведёнными в табл. 59, показывает, что они согласуются друг с другом. При этом для величины μ_𝑒, входящей в теоретическую зависимость между 𝑀 и 𝑅, получаются значения, близкие к 2. Так как величина μ_𝑒 связана с весовой долей водорода 𝑋 формулой (37.20), то это означает, что водорода в белых карликах очень мало. Ниже мы увидим, что к такому же заключению приводит рассмотрение светимостей белых карликов.