Курс теоретической астрофизики

(при сравнительно низких температурах). Формулы (5.35) и (5.36) довольно часто применяются в астрофизике.

§ 6. Теория фотосфер при коэффициенте поглощения, зависящем от частоты

1. Приближённая теория.

Самый простой путь для построения приближенной теории фотосфер при коэффициенте поглощения, зависящем от частоты, состоит в использовании результатов изложенной выше теории фотосфер при предположении о независимости коэффициента поглощения от частоты. С этой целью в теорию фотосфер вводится средний коэффициент поглощения α. Как было показано в предыдущем параграфе, его можно определить так, что сохраняется такая же зависимость температуры 𝑇 от оптической глубины τ, как и в случае, когда коэффициент поглощения не зависит от частоты. Поэтому сохраняются и полученные ранее выводы о строении звёздной фотосферы, т.е. об изменении в ней плотности и температуры с геометрической глубиной (в соответствующих формулах § 4 надо лишь заменить α на α).

Однако для определения поля излучения в фотосфере для разных частот необходимо, чтобы в теории фигурировал коэффициент поглощения α_ν или соответствующая ему оптическая глубина τ_ν. Для нас особенный интерес представляет интенсивность излучения, выходящего из звезды. Как было показано ранее, она определяется формулой (4.30), справедливой при любой зависимости τ_ν от ν. Мы будем считать, что входящая в эту формулу температура 𝑇 при помощи формулы (5.26) выражается через оптическую глубину τ, соответствующую среднему коэффициенту поглощения. Поэтому для вычисления по формуле (4.30) надо выразить и τ_ν через τ. Мы приближённо примем, что α_ν/α не меняется в фотосфере. Тогда получаем

τ

_ν

=

∞

∫

𝑟

α

_ν

𝑑𝑟

=

α_ν

α

∞

∫

𝑟

α

𝑑𝑟

=

α_ν

α

τ

.

(6.1)

На самом деле величина α_ν/α зависит от глубины в фотосфере. Очевидно, что для вычисления интенсивности излучения, выходящего из звезды, для величины α_ν/α надо брать её значение в поверхностных слоях фотосферы (точнее говоря, в тех слоях, в которых в среднем возникает непрерывный спектр).

Подставляя (6.1) в (4.30), для интенсивности излучения, выходящего из звезды под углом θ к радиусу-вектору в частоте ν, получаем

𝐼

_ν

(0,θ)

=

∞

∫

0

𝐵

_ν

(𝑇)

exp

⎛

⎜

⎝

-

α_ν

α

τ

secθ

⎞

⎟

⎠

secθ

α_ν

α

𝑑τ

,

(6.2)

где 𝐵_ν(𝑇) — планковская интенсивность при температуре 𝑇. Принимая во внимание (4.2) и (5.26), вместо (6.2) находим

𝐼

_ν

(0,θ)

=

2ℎν³

𝑐²

∞

∫

0

exp

⎛

⎜

⎝

-

α_ν

α

τ

secθ

⎞

⎟

⎠

×

×

⎡

⎢

⎣

exp

⎛

⎜

⎝

ℎν

𝑘𝑇_𝑒

⎧

⎪

⎩

1

2

+

3

4

τ

⎫-¼

⎪

⎭

⎞

⎟

⎠

-1

⎤⁻¹

⎥

⎦

secθ

α_ν

α

𝑑τ

.

(6.3)

В том же приближении (т.е. при α_ν/α=const) для потока излучения в частоте ν на поверхности звезды имеем

𝐻

_ν

=

4πℎν³

𝑐²

∞

∫

0

𝐸₂

⎛

⎜

⎝

α_ν

α τ

⎞

⎟

⎠

α_ν

α 𝑑τ

exp

⎛

⎜

⎝

ℎν

𝑘𝑇_𝑒

⎧

⎪

⎩

1

2 +

3

4 τ

⎫

⎪

⎭

-¼

⎞

⎟

⎠ -1

(6.4)

Ранее полученные формулы (4.39) и (4.40) являются частными случаями формул (6.3) и (6.4) (при τ_ν=τ).

Иногда при вычислении величины 𝐼_ν(0,θ) по формуле (6.2) функцию 𝐵_ν(𝑇) представляют в виде ряда, расположенного по степеням τ:

𝐵

_ν

(τ)

=

𝐵

_ν

(𝑇₀)

(1+β

_ν

τ+…)

,

(6.5)

в котором берут только два первых члена. Мы имеем

β

_ν

=

1

𝐵_ν(𝑇₀)

⎡

⎢

⎣

𝑑𝐵_ν

𝑑𝑇

𝑑𝑇

𝑑τ

⎤

⎥

⎦τ=0

(6.6)

или, на основании формул (4.2) и (5.26),

β

_ν

=

3

8

ℎν

𝑘𝑇₀

1

1-𝑒^{-ℎν/(𝑘𝑇₀)}

.

(6.7)

Для величины 𝐼_ν(0,θ) приближённо получаем

𝐼

_ν

(0,θ)

=

𝐵

_ν

(𝑇₀)

×

×

∞

∫

0

(1+β

_ν

τ)

exp

⎛

⎜

⎝

-

α_ν

α

τ

secθ

⎞

⎟

⎠

α_ν

α

secθ

𝑑τ

,

(6.8)

или, после интегрирования,

𝐼

_ν

(0,θ)

=

𝐵

_ν

(𝑇₀)

⎛

⎜

⎝

1

+

α

α_ν

β

_ν

cosθ

⎞

⎟

⎠

.

(6.9)

Подставляя (6.9) в (4.35), для потока излучения находим

𝐻

_ν

=

π𝐵

_ν

(𝑇₀)

⎛

⎜

⎝

1

+

2

3

α

α_ν

β

_ν

⎞

⎟

⎠

.

(6.10)

Формулы (6.9) и (6.10) являются довольно грубыми, однако из них ясно видно, как отношение α_ν/α влияет на величины 𝐼_ν(0,θ) и 𝐻_ν. Легко понять, что это влияние объясняется ростом температуры с глубиной. Чем меньше отношение α_ν/α, тем из более глубоких слоёв фотосферы до нас доходит излучение и тем, следовательно, величины 𝐼_ν(0,θ) и 𝐻_ν оказываются больше.

Как известно, величиной 𝐼_ν(0,θ) даётся распределение яркости по диску звезды. Из формулы (6.9) следует, что в частотах, для которых коэффициент поглощения α_ν очень велик, яркость диска везде приблизительно одинакова; в частотах же, для которых коэффициент поглощения очень мал, яркость сильно убывает при переходе от центра к краю. Рассмотрим для примера звёзды, в фотосферах которых поглощение вызывается в основном атомами водорода (т.е. звёзды классов 𝙰 и 𝙱, как увидим дальше). Из формулы (5.11) видно, что коэффициент поглощения α_ν сразу за пределом серии Бальмера в несколько раз больше, чем до предела (так как за пределом 𝑖₀=2, а до предела 𝑖₀=3). Поэтому распределение яркости по диску звезды в частотах после бальмеровского предела должно заметно отличаться от распределения яркости по диску в частотах до бальмеровского предела. Этот вывод может быть сопоставлен с результатами наблюдений затменных переменных звёзд классов 𝙰 и 𝙱.