Курс теоретической астрофизики

Между тем в изложенной в предыдущих параграфах теории фотосфер делалось предположение о независимости коэффициента поглощения от частоты. При отказе от этого предположения теория фотосфер становится гораздо более сложной. Поэтому возникает вопрос, нельзя ли воспользоваться результатами изложенной теории фотосфер и для того случая, когда коэффициент поглощения зависит от частоты, по крайней мере в первом приближении. С этой целью в теорию фотосфер вводится средний коэффициент поглощения (т.е. коэффициент поглощения, усреднённый по частоте). Его пытаются определить так, чтобы сохранилась ранее полученная зависимость температуры от оптической глубины.

Возьмём уравнение переноса излучения

cos θ

𝑑𝐼_ν

𝑑𝑟

=-

α

_ν

𝐼

_ν

+

ε

_ν

.

(5.18)

Умножая это уравнение на cos θ, интегрируя по всем направлениям и вынося за знак интеграла среднее значение cos²θ, равное ¹/₃, получаем

4π

3

𝑑𝐼_ν

𝑑𝑟

=-

α

_ν

𝐻

_ν

,

(5.19)

где 𝐻_ν — поток излучения и 𝐼_ν — средняя интенсивность излучения равная

𝐼

_ν

=

∫

𝐼

_ν

𝑑ω

4π

.

(5.20)

Интегрируя (5.19) по всем частотам и вводя обозначение

α

=

∫α_ν𝐻_ν𝑑_ν

𝐻

,

(5.21)

находим

4π

3

𝑑𝐼_ν

𝑑𝑟

=-

α

𝐻

,

(5.22)

где 𝐻 — полный поток излучения в фотосфере и 𝐼 — средняя полная интенсивность излучения.

Величина α, определённая формулой (5.21), есть средний коэффициент поглощения. Вводя соответствующую ему оптическую глубину τ по формуле

τ

=

∞

∫

𝑟

α

𝑑𝑟

,

(5.23)

вместо (5.22) имеем

4π

3

𝑑𝐼_ν

𝑑τ

=

𝐻

,

(5.24)

Так как поток излучения 𝐻 постоянен в фотосфере, то интегрирование (5.24) даёт

𝐼

=

𝐻

2π

⎛

⎜

⎝

1

+

3

2

τ

⎞

⎟

⎠

.

(5.25)

Здесь мы воспользовались граничным условием: 2π𝐼=𝐻 при τ=0.

Считая, что величина 𝐼 равна полной интенсивности излучения при термодинамическом равновесии, т.е. 𝐼=σ𝑇⁴/π, и выражая полный поток излучения через эффективную температуру 𝑇_𝑒 по формуле

𝐻

=

σ𝑇

4

𝑒

,

вместо (5.25) находим

𝑇⁴

=

𝑇

4

𝑒

⎛

⎜

⎝

1

2

+

3

4

τ

⎞

⎟

⎠

,

(5.26)

т.е. ранее полученную формулу (4.20).

Таким образом, определяя средний коэффициент поглощения α формулой (5.21) и пользуясь приближением Эддингтона, мы приходим к такой же зависимости между температурой и оптической глубиной, как и в случае, когда коэффициент поглощения не зависит от частоты. Однако вычислить точно величину α мы не можем, так как в формулу (5.21) входит поток излучения 𝐻_ν в реальной фотосфере, в которой коэффициент поглощения зависит от частоты. Поэтому средний коэффициент поглощения α приходится вычислять приближённо.

Для приближённого вычисления величины α были предложены следующие способы.

1. Будем считать, что поток излучения 𝐻_ν равен потоку излучения из абсолютно чёрного тела, т.е. 𝐻_ν=π𝐵_ν(𝑇) где 𝐵_ν(𝑇) — планковская интенсивность при температуре 𝑇. Тогда

α

=

∫α_ν𝐵_ν(𝑇)𝑑ν

∫𝐵_ν(𝑇)𝑑ν

.

(5.27)

2. Возьмём выражение для 𝐻_ν, даваемое формулой (5.19). Заменяя в ней 𝐼_ν на планковскую интенсивность 𝐵_ν(𝑇), находим

𝐻

_ν

=-

4π

3

1

α_ν

𝑑𝐵_ν(𝑇)

𝑑𝑇

𝑑𝑇

𝑑𝑟

.

(5.28)

Подстановка (5.28) в (5.21) даёт

α

=

∫

𝑑𝐵_ν(𝑇)

𝑑𝑇

𝑑ν

⋅

⎛

⎜

⎝

1

α_ν

𝑑𝐵_ν(𝑇)

𝑑𝑇

𝑑ν

⎞⁻¹

⎟

⎠

.

(5.29)

Формула (5.29) была предложена Росселандом [2].

3. Примем для 𝐻_ν выражение, которое получается в случае, когда коэффициент поглощения не зависит от частоты. Обозначая поток излучения для этого случая через

𝐻

0

ν

(τ)

,

получаем

α

=

∫

α

_ν

𝐻

0

ν (τ)

𝐻

(5.30)

Формулу (5.30) предложил Чандрасекар [4], табулировавший также величину

𝐻

0

ν (τ)

𝐻

.

Мы не будем сравнивать между собой различные способы вычисления величины α Отметим только, что вычисления по формулам (5.27) и (5.30) проще, чем по формуле (5.29). Это особенно заметно в случае сложного химического состава, так как в формулы (5.27) и (5.30) члены, соответствующие разным атомам, входят аддитивно. Однако формула (5.29), по-видимому, точнее.

Для примера найдём средний коэффициент поглощения по формуле (5.27) в случае, когда поглощение вызывается атомами водорода.

Пользуясь формулой (5.11) для α_ν и формулой (4.2) для 𝐵_ν(𝑇), получаем

∞

∫

0

α

_ν

𝐵

_ν

(𝑇)

𝑑ν

=

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

2⁴π²𝑒⁶𝑘𝑇

3√3𝑐ℎ(2π𝑚𝑘𝑇)³^/²

2ℎ

𝑐²

×

×

∞

∫

0

⎡

⎢

⎣

1+2

χ₁

𝑘𝑇

∞

∑

𝑖=𝑖₀

1

𝑖³

exp

⎛

⎜

⎝

χ₁

𝑘𝑇

⎞

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

exp

⎛

⎜

⎝

-

ℎν

𝑘𝑇

⎞

⎟

⎠

𝑑ν

.

(5.31)

Здесь для простоты мы положили 𝑔_𝑖ν=1 и 𝑔_ν=1. Меняя порядок интегрирования и суммирования и производя интегрирование, находим

∞

∫

0

α

_ν

𝐵

_ν

(𝑇)

𝑑ν

=

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

2⁴π²𝑒⁶𝑘𝑇

3√3𝑐ℎ(2π𝑚𝑘𝑇)³^/²

2ℎ

𝑐²

×

×

𝑘𝑇

ℎ

⎡

⎢

⎣

1

+

2,4

χ₁

𝑘𝑇

⎤

⎥

⎦

.

(5.32)

Кроме того, имеем

∞

∫

0

𝐵

_ν

(𝑇)

𝑑ν

=

2ℎ

𝑐²

⎛

⎜

⎝

𝑘𝑇

ℎ

⎞⁴

⎟

⎠

∞

∫

0

𝑥³𝑑𝑥

𝑒^𝑥-1

=

2ℎ

𝑐²

⎛

⎜

⎝

𝑘𝑇

ℎ

⎞⁴

⎟

⎠

π⁴

15

.

(5.33)

Подстановка (5.32) и (5.33) в формулу (5.27) даёт

α

=

40

π⁴√3

𝑒⁶ℎ⁴

𝑚𝑒(2π𝑚)³^/²

χ₁

⎡

⎢

⎣

1

+

2,4

χ₁

𝑘𝑇

⎤

⎥

⎦

𝑛_𝑒𝑛⁺

(𝑘𝑇)⁷^/²

.

(5.34)

Формулу (5.34) мы получили для атома водорода, но она справедлива без изменений и для водородоподобных ионов (так как атомный номер Z входит в χ₁) Приближённо формула (5.34) справедлива и для других атомов.

Напомним, что первый член в квадратных скобках формулы (5.34) соответствует свободно-свободным переходам, а второй член — связанно-свободным переходам. В случае поглощения излучения водородными атомами первый член преобладает при температурах, больших 400 000 K, а второй член — при температурах, меньших 400 000 K (так как для водорода χ₁/𝑘=157 200).

Считая, что водородные атомы полностью ионизованы (а значит, 𝑛_𝑒=𝑛⁺~ρ), в двух указанных случаях из формулы (5.34) получаем

α

≈

ρ²

𝑇⁷^/²

(5.35)

(при сравнительно высоких температурах) и

α

≈

ρ²

𝑇⁹^/²

(5.36)