Курс теоретической астрофизики

В рассматриваемом случае уравнение лучистого равновесия (1.17) может быть заменено другим, более простым уравнением, имеющим тот же физический смысл. Проинтегрировав уравнение (1.20) по всем частотам и по всем направлениям, получаем

1

𝑟²

𝑑

𝑑𝑟

⎛

⎜

⎝

𝑟²

∞

∫

0

𝐻

_ν

𝑑ν

⎞

⎟

⎠

=-

∞

∫

0

α

_ν

𝑑

_ν

∫

𝐼

_ν

𝑑ω

+

4π

∞

∫

0

ε

_ν

𝑑ν

.

(1.21)

Из (1.21) видно, что если выполняется уравнение (1.17), то должно выполняться и уравнение

𝑑

𝑑𝑟

⎛

⎜

⎝

𝑟²

∞

∫

0

𝐻

_ν

𝑑ν

⎞

⎟

⎠

=

0.

(1.22)

Из (1.22) следует

∞

∫

0

𝐻

_ν

𝑑ν

=

𝐶

𝑟²

,

где 𝐶 — некоторая постоянная, определяемая источниками энергии звезды.

Таким образом, полный поток излучения (т.е. поток излучения, проинтегрированный по всему спектру) в сферически-симметричной фотосфере обратно пропорционален квадрату расстояния от центра звезды. Соотношение (1.23), как и уравнение (1.17), является следствием отсутствия источников и стоков энергии в фотосфере.

Как уже говорилось, почти все звёзды обладают фотосферами, толщина которых очень мала по сравнению с радиусом звезды. Для этих звёзд уравнения (1.20) и (1.23) могут быть сильно упрощены. Этого нельзя сделать лишь для звёзд особых типов (например, для звёзд типа Вольфа — Райе).

Рис. 2

Если толщина фотосферы гораздо меньше радиуса звезды, то фотосферные слои могут считаться не сферическими, а плоскопараллельными (рис. 2). В этом случае угол θ не меняется вдоль луча и вместо уравнения (1.20) получаем

cosθ

𝑑𝐼_ν

𝑑𝑟

=-

α

_ν

𝐼

_ν

+

ε

_ν

.

(1.24)

Так как расстояние 𝑟 от центра звезды меняется в фотосфере в очень небольших пределах, то вместо уравнения (1.23) имеем

∞

∫

0

𝐻

_ν

𝑑

_ν

=

const.

(1.25)

Таким образом, при рассмотрении поля излучения в фотосферах «обычных» звёзд следует пользоваться уравнениями (1.24) и (1.17) или уравнениями (1.24) и (1.25).

§ 2. Теория фотосфер при коэффициенте поглощения, не зависящем от частоты

1. Основные уравнения.

Первоначально в теории фотосфер делалось предположение о независимости коэффициента поглощения от частоты, ведущее к существенному упрощению теории. В дальнейшем, однако, было установлено, что это предположение является весьма грубым. Тем не менее теория фотосфер при коэффициенте поглощения, не зависящем от частоты, продолжает сохранять своё значение, так как она может рассматриваться как первое приближение к более строгой теории.

Считая, что коэффициент поглощения не зависит от частоты (т.е. α_ν=α), вместо уравнения переноса излучения (1.24) и уравнения лучистого равновесия (1.17) получаем

cosθ

𝑑𝐼_ν

𝑑𝑟

=-

α

_ν

𝐼

_ν

+

ε

_ν

,

(2.1)

4π

∞

∫

0

ε

_ν

𝑑ν

=

α

∫

𝑑ω

∞

∫

0

𝐼

_ν

𝑑ν

.

(2.2)

Введём обозначения

∞

∫

0

𝐼

_ν

𝑑ν

=

𝐼

,

∞

∫

0

ε

_ν

𝑑ν

=

ε.

(2.3)

Величину 𝐼 можно назвать полной интенсивностью излучения, а величину ε — полным коэффициентом излучения.

Проинтегрировав уравнение (2.1) по всем частотам, находим

cosθ

𝑑𝐼

𝑑𝑟

=-

α𝐼

+

ε

,

(2.4)

а уравнение (2.2) переписывается в виде

4πε

=

α

∫

𝐼

𝑑ω

.

(2.5)

При исследовании переноса излучения в любой среде целесообразно переходить от геометрических расстояний к оптическим расстояниям. В данном случае удобно ввести оптическую глубину τ, определяемую формулой

τ

=

∞

∫

𝑟

α

𝑑𝑟

(2.6)

Положим также

ε

=

α𝑆

.

(2.7)

Тогда уравнения (2.4) и (2.5) принимают вид

cosθ

𝑑𝐼

𝑑τ

=

𝐼-𝑆

,

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

𝑆

=

∫

𝐼

𝑑ω

4π

.

(2.8)

Таким образом, мы получили два уравнения для определения двух неизвестных функций 𝐼 и 𝑆.

В системе уравнений (2.8) величина 𝐼 является функцией от τ и θ, а величина 𝑆 — функцией от τ. Учитывая, что 𝑑ω=sinθ 𝑑θ 𝑑φ, и производя интегрирование по φ в пределах от 0 до 2π, вместо (2.8) получаем

cosθ

𝑑𝐼(τ,θ)

𝑑τ

=

𝐼(τ,θ)

-

𝑆(τ)

,

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

𝑆(τ)

=

½

π

∫

0

𝐼(τ,θ)

sinθ

𝑑θ

.

(2.9)

К системе уравнений (2.9) необходимо добавить ещё граничное условие. Оно выражает тот факт, что нет излучения, падающего на звезду извне, т.е.

𝐼(0,θ)

=

0

при

θ

>

π

2

.

(2.10)

Кроме того, для получения вполне определённого решения системы уравнений (2.9) при граничном условии (2.10) следует задать ещё полный поток излучения в фотосфере, равный

𝐻

=

𝐿

4π𝑅²

,

(2.11)

где 𝐿 — светимость звезды (т.е. полное количество энергии, излучаемое звездой за 1 с) и 𝑅 — радиус звезды.

Системы уравнений типа (2.9) весьма часто встречаются в астрофизике. С такими же уравнениями приходится иметь дело и в геофизике (при изучении рассеяния света в земной атмосфере и в водных бассейнах). К аналогичным уравнениям приводят и некоторые проблемы физики (например, проблема диффузии нейтронов). Поэтому системы уравнений типа (2.9) были предметом многочисленных исследований и для их решения предложен ряд методов (см. [4] и [5]).

Ниже излагаются некоторые из этих методов, представляющих наибольший интерес для астрофизики.

2. Приближённое решение уравнений.

Для решения системы уравнений (2.9) были предложены приближённые методы, основанные на усреднении интенсивности излучения по направлениям. Первый из этих методов принадлежит Шварцшильду и Шустеру, второй — Эддингтону. Мы сейчас решим систему уравнений (2.9) при помощи каждого из указанных методов.