Курс теоретической астрофизики

Знание функции 𝑆(τ) позволяет определить интенсивность излучения на любой оптической глубине. В частности, мы можем найти интенсивность излучения, выходящего из звезды, т.е. величину 𝐼(0,θ). Очевидно, что интенсивность излучения, выходящего из фотосферы под углом θ к нормали, представляет собой яркость диска звезды на угловом расстоянии θ от центра диска (рис. 3). Поэтому величиной 𝐼(0,θ) даётся распределение яркости по диску звезды.

Чтобы найти величину 𝐼(0,θ), надо в формуле (2.42), дающей интенсивность излучения, идущего снизу вверх (т.е. при θ<π/2), положить τ=0. Делая это и заменяя переменную интегрирования τ' на τ, находим

𝐼(0,θ)

=

∞

∫

0

𝑆(τ)

𝑒

^-τsecθ

secθ

𝑑τ

.

(2.54)

Выше были получены различные приближённые формулы для функции 𝑆(τ). Посмотрим, к какому распределению яркости по диску звезды приводит каждая из этих формул.

Пользуясь для функции 𝑆(τ) формулами (2.24), (2.33) и (2.40), полученными в приближениях Шварцшильда — Шустера, Эддингтона и в первом приближении Чандрасекара, соответственно находим

𝐼(0,θ)

=

𝐹

⎛

⎜

⎝

1

2

+

cosθ

⎞

⎟

⎠

,

(2.55)

𝐼(0,θ)

=

𝐹

⎛

⎜

⎝

1

2

+

3

4

cosθ

⎞

⎟

⎠

,

(2.56)

и

𝐼(0,θ)

=

𝐹

⎛

⎜

⎝

√3

4

+

3

4

cosθ

⎞

⎟

⎠

,

(2.57)

Для отношения яркости в центре диска к яркости на краю, т.е. для величины 𝐼(0,0)/𝐼(0,π/2), эти формулы соответственно дают: 3, 2,5 и 2,7. Как мы увидим ниже, точное значение этой величины равно 2,9.

Таким образом, яркость в центре диска значительно больше яркости на краю. Объясняется это тем, что в центре диска излучение выходит в среднем из более глубоких слоёв, чем на краю.

Приведённый выше теоретический закон распределения яркости по диску звезды в общем подтверждается наблюдательными данными. Эти данные получены в основном при изучении Солнца, так как дисков других звёзд мы не видим. Некоторые сведения о потемнении диска звезды при переходе от центра к краю даёт также анализ кривых изменения блеска затменных переменных. В этом случае одна звезда периодически закрывает другую и по свечению оставшейся не закрытой части диска звезды можно судить о распределении яркости по диску.

Подчеркнём, что в этом параграфе речь шла о полных (т.е. проинтегрированных по всему спектру) яркостях. Наблюдения же дают не только распределение по диску звезды полной яркости, но и распределение яркости в различных длинах волн. Вопрос о законе потемнения диска звезды при переходе от центра к краю в различных длинах волн будет рассмотрен ниже.

§ 3. Точное решение основных уравнений

1. Уравнение для резольвенты.

Приведённое выше интегральное уравнение Милна представляет собой частный случай уравнений, довольно часто встречающихся в астрофизике. Все эти уравнения имеют ядра, зависящие от абсолютного значения разности двух аргументов. Для решения таких уравнений был предложен сравнительно простой метод, который мы сейчас и изложим (см. [5]). Затем этот метод будет использован для получения точного решения задачи о переносе излучения через фотосферу звезды. В дальнейшем тем же методом будут решены другие астрофизические задачи (об образовании линий поглощения в звёздных спектрах, о рассеянии света в атмосферах планет и т.д.).

Рассмотрим интегральное уравнение

𝑆(τ)

=

∞

∫

0

𝐾

(|τ-τ'|)

𝑆(τ')

𝑑τ'

+

𝑔(τ)

,

(3.1)

определяющее функцию 𝑆(τ) (не совпадающую, вообще говоря, с введённой ранее функцией 𝑆(τ), но имеющую аналогичный физический смысл). Здесь 𝐾(|τ-τ'|) — ядро уравнения и 𝑔(τ) —функция, характеризующая распределение источников излучения в среде. Функции 𝐾(τ) и 𝑔(τ) являются заданными и для разных задач различными (с примерами мы познакомимся позднее).

Решение уравнения (3.1) может быть представлено в виде

𝑆(τ)

=

𝑔(τ)

+

∞

∫

0

Γ(τ,τ')

𝑔(τ')

𝑑τ'

,

(3.2)

где Γ(τ,τ') — резольвента, удовлетворяющая, как известно, уравнению

Γ(τ,τ')

=

𝐾

(|τ-τ'|)

+

∞

∫

0

𝐾

(|τ-τ''|)

Γ(τ'',τ')

𝑑τ''

.

(3.3)

При этом Γ(τ,τ') является симметричной функцией от τ и τ', т.е. Γ(τ,τ')=Γ(τ',τ).

Пользуясь уравнением (3.3), мы можем получить новое уравнение для резольвенты. Для этого перепишем (3.3) в виде

Γ(τ,τ')

=

𝐾(|τ-τ'|)

+

τ

∫

0

𝐾(α)

Γ(τ-α,τ')

𝑑α

+

+

∞

∫

0

𝐾(α)

Γ(τ+α,τ')

𝑑α

.

(3.4)

Дифференцируя (3.4) сначала по τ, затем по τ' и складывая почленно полученные равенства, находим

∂Γ

∂τ

+

∂Γ

∂τ'

=

𝐾(τ)

Γ(0,τ')

+

+

∞

∫

0

𝐾(|τ-τ''|)

⎛

⎜

⎝

∂Γ

∂τ

+

∂Γ

∂τ'

⎞

⎟

⎠

𝑑τ''

.

(3.5)

С другой стороны, из уравнения (3.3) имеем

Γ(0,τ)

=

𝐾(τ)

+

∞

∫

0

𝐾(|τ-τ''|)

Γ(τ'',0)

𝑑τ''

.

(3.6)

Сравнение (3.5) и (3.6) даёт

∂Γ

∂τ

+

∂Γ

∂τ'

=

Φ(τ)

Φ(τ')

,

(3.7)

где обозначено

Γ(0,τ)

=

Φ(τ)

.

(3.8)

Из (3.7) следует (при τ'>τ):

Γ(τ,τ')

=

Φ(τ'-τ)

+

τ

∫

0

Φ(α)

Φ(α+τ'-τ)

𝑑α

.

(3.9)

Таким образом, резольвента Γ(τ,τ') выражается через функцию Φ(τ), зависящую только от одного аргумента.

Для определения функции Φ(τ) может быть использовано уравнение

Φ(τ)

=

𝐾(τ)

+

∞

∫

0

𝐾(|τ-τ'|)

Φ(τ')

𝑑τ'

,

(3.10)

представляющее собой уравнение (3.6) при учёте (3.8). Другое уравнение для определения Φ(τ) будет получено ниже.

2. Вспомогательные уравнения.