Курс теоретической астрофизики

Таким образом, решение однородного уравнения (3.28) выражается через функцию Φ(τ) формулой (3.31), в которой постоянная 𝑘 определяется уравнением (3.35).

5. Интенсивность выходящего излучения.

Вспомогательная функция Φ(τ) представляет интерес не только потому, что через неё выражается резольвента интегрального уравнения (3.1). Не менее существенно и то, что интенсивность излучения, выходящего из среды, во многих случаях также непосредственно выражается через ту же функцию.

Мы сейчас рассмотрим некоторые из этих случаев, однако предварительно получим важную общую формулу для интенсивности выходящего из среды излучения.

Рассмотрим излучение, выходящее из полубесконечной среды под углом θ к нормали. Обозначая cosθ=μ, для интенсивности этого излучения имеем

𝐼(0,μ)

=

∞

∫

0

𝑆(τ)

𝑒

^-τ/μ

𝑑τ

μ

.

(3.36)

Здесь под 𝑆(τ) понимается решение интегрального уравнения (3.1) при любой функции 𝑔(τ), т.е. при любых источниках излучения.

Функция 𝑆(τ) выражается через 𝑔(τ) и резольвенту Γ(τ,τ') при помощи формулы (3.2). Подставляя (3.2) в (3.36), получаем

𝐼(0,μ)

=

∞

∫

0

𝑔(τ)

𝑑τ

μ

⎡

⎢

⎣

𝑒

^-τ/μ

+

∞

∫

0

Γ(τ,τ')

𝑒

^-τ'/μ

𝑑τ'

⎤

⎥

⎦

.

(3.37)

Отсюда на основании (3.12) следует:

𝐼(0,μ)

=

∞

∫

0

𝑔(τ)

𝑆

⎛

⎜

⎝

τ,

1

μ

⎞

⎟

⎠

𝑑τ

μ

.

(3.38)

Это и есть искомая формула для интенсивности излучения. Таким образом, для нахождения функции 𝐼(0,μ) при любых источниках излучения достаточно знать лишь функцию 𝑆(τ,𝑥), определённую уравнением (3.11).

Однако, как уже сказано, во многих частных случаях для определения интенсивности излучения нам должна быть известна только функция 𝑆(0,𝑥). Поскольку эта функция определяется непосредственно из уравнений (3.20) или (3.21), то для нахождения 𝐼(0,μ) в этих случаях не требуется знания функции Φ(τ).

Рассмотрим следующие частные случаи расположения источников излучения:

1. Пусть функция 𝑔(τ) убывает с оптической глубиной экспоненциально, т.е.

𝑔(τ)

=

𝑒

^-𝑚τ

.

(3.39)

В данном случае, пользуясь формулой (3.19), находим

𝐼(0,μ)

=

𝑆(0,𝑚)𝑆(0,1/μ)

1+𝑚μ

.

(3.40)

2. Допустим, что источники излучения расположены в среде равномерно, т.е. 𝑔(τ)=1. В этом случае, полагая в (3.40) 𝑚=0, получаем

𝐼(0,μ)

=

𝑆(0,0)

𝑆

⎛

⎜

⎝

0

,

1

μ

⎞

⎟

⎠

.

(3.41)

Подстановка 𝑆(0,0) из (3.27) в (3.41) даёт

𝐼(0,μ)

=

𝑆

⎛

⎜

⎝

0

,

1

μ

⎞

⎟

⎠

⎡

⎢

⎣

1

-

2

𝑏

∫

𝑎

𝐴(𝑥)

𝑑𝑥

𝑥

⎤-½

⎥

⎦

.

(3.42)

3. Предположим, что 𝑔(τ)=τ. На основании формулы (3.38) имеем

𝐼(0,μ)

=

∞

∫

0

τ

𝑆

⎛

⎜

⎝

τ

,

1

μ

⎞

⎟

⎠

𝑑τ

μ

.

(3.43)

Для определения интеграла (3.43) воспользуемся уравнением (3.15). Умножая это уравнение на τ и интегрируя по τ от 0 до ∞, получаем

𝑥

∞

∫

0

𝑆(τ,𝑥)

τ𝑑τ

=

∞

∫

0

𝑆(τ,𝑥)

𝑑τ

+

𝑆(0,𝑥)

∞

∫

0

Φ(τ)

τ𝑑τ

.

(3.44)

Но из формул (3.38) и (3.41) следует

𝑥

∞

∫

0

𝑆(τ,𝑥)

𝑑τ

=

𝑆(0,0)

𝑆(0,𝑥)

.

(3.45)

Поэтому вместо (3.44) находим

𝑥

∞

∫

0

𝑆(τ,𝑥)

τ𝑑τ

=

𝑆(0,𝑥)

⎡

⎢

⎣

1

𝑥

𝑆(0,0)

+

∞

∫

0

Φ(τ)

τ𝑑τ

⎤

⎥

⎦

.

(3.46)

Для определения интеграла в правой части соотношения (3.46) умножим это соотношение на 𝐴(𝑥) 𝑑𝑥 и проинтегрируем от 𝑎 до 𝑏. Пользуясь формулой (3.22) и уравнением (3.20) при 𝑥=0, получаем

∞

∫

0

Φ(τ)

τ𝑑τ

=

𝑆²(0,0)

𝑏

∫

𝑎

𝐴(𝑥)

𝑆(0,𝑥)

𝑑𝑥

𝑥²

.

(3.47)

Заменяя в (3.46) 𝑥 на 1/μ и подставляя (3.47), окончательно находим

𝐼(0,μ)

=

𝑆(0,0)

𝑆

⎛

⎜

⎝

0,

1

μ

⎞

⎟

⎠

×

×

⎡

⎢

⎣

μ

+

𝑆(0,0)

𝑏

∫

𝑎

𝐴(𝑥)

𝑆(0,𝑥)

𝑑𝑥

𝑥²

⎤

⎥

⎦

.

(3.48)

Аналогично, пользуясь формулой (3.38) и уравнением (3.15), можно найти интенсивность излучения 𝐼(0,μ) и в случае, когда 𝑔(τ)=τ^𝑛 при любом целом 𝑛.

4. Будем считать, что источники излучения расположены на бесконечно большой глубине. В этом случае функция 𝑆(τ), определяемая однородным уравнением (3.28), связана с функцией Φ(τ) соотношением (3.30). Умножая это соотношение на 𝑒^-τ/μ и интегрируя по τ от 0 до ∞, находим

𝐼(0,μ)

(1-𝑘μ)

=

𝑆(0)

⎡

⎢

⎣

1

+

∞

∫

0

Φ(τ)

𝑒

^-τ/μ

𝑑τ

⎤

⎥

⎦

.

(3.49)

Отсюда, при использовании формулы (3.14), следует:

𝐼(0,μ)

=

𝑆(0)

𝑆(0,1/μ)

1-𝑘μ

.

(3.50)

Мы видим, что во всех рассмотренных случаях интенсивность излучения 𝐼(0,μ) выражается через функцию 𝑆(0,𝑥) весьма простыми формулами. В дальнейшем эти формулы будут неоднократно применяться.

6. Применение к звёздным фотосферам.

Применим изложенный выше метод к решению задачи о переносе излучения через фотосферу звезды. Как мы знаем, при предположении о независимости коэффициента поглощения от частоты указанная задача сводится к интегральному уравнению Милна

𝑆(τ)

=

1

2

∞

∫

0

𝐸₁

|τ-τ'|

𝑆(τ')

𝑑τ'

.

(3.51)

Мы видим, что это уравнение является частным случаем однородного уравнения (3.28) при

𝐾(τ)

=

1

2

𝐸₁τ

=

1

2

∞

∫

1

𝑒

^-τ𝑥

𝑑𝑥

𝑥

,

(3.52)

т.е. при 𝐴(𝑥)=½𝑥, 𝑎=1 и 𝑏=∞.

Применение изложенного метода должно начинаться с составления уравнения для определения функции 𝑆(0,𝑥). Для упрощения записи обозначим 𝑥=1/μ, 𝑆(0,𝑥)=φ(μ). Тогда уравнение (3.20) для данного случая принимает вид

φ(μ)

=

1

+

μ

2

φ(μ)

1

∫

0

φ(μ')

μ+μ'

𝑑μ'

.

(3.53)

Уравнение (3.53) было впервые получено В. А. Амбарцумяном другим способом. Путём численного решения этого уравнения были составлены подробные таблицы функции φ(μ). Эта функция монотонно возрастает от значения φ(0)=1 до значения φ(1)=2.9. Получено также выражение φ(μ) в явном виде * ).

* ) Подробнее об уравнениях типа (3.53) см. гл. IV.

Если функция φ(μ) известна, то может быть найдена и функция Φ(τ). Для её определения мы имеем уравнение

∞

∫

0

Φ(τ)

𝑒

^-𝑠τ

𝑑τ

=

⎛

⎜

⎝

1

-

1

2

1

∫

0

φ(μ)

𝑑μ

1+𝑠μ

⎞⁻¹

⎟

⎠

-

1,

(3.54)