Курс теоретической астрофизики

Поток излучения при термодинамическом излучении, очевидно, равен нулю. Однако поток излучения, выходящего из упомянутой полости через малое отверстие, отличен от нуля. Для нахождения этого потока надо воспользоваться формулой (1.4) и принять во внимание, что интенсивность выходящего из полости излучения не зависит от направления, а излучение, входящее в полость, отсутствует. В результате для потока излучения 𝐻_ν(𝑇) в этом случае получаем

𝐻

_ν

(𝑇)

=

π𝐵

_ν

(𝑇)

.

(4.5)

Заметим, что если излучение попадает в полость через малое отверстие, то оно в ней практически полностью поглощается. Можно сказать, что в этом случае мы имеем дело с абсолютно чёрным телом. Поэтому величина 𝐵_ν(𝑇) называется часто интенсивностью излучения абсолютно чёрного тела.

Проинтегрировав выражение (4.4) по всем частотам, мы получаем полную плотность излучения при термодинамическом равновесии:

ρ(𝑇)

=

∞

∫

0

ρ

_ν

(𝑇)

𝑑ν

=

8πℎ

𝑐³

∞

∫

0

ν³𝑑ν

exp(ℎν/(𝑘𝑇))-1

,

(4.6)

или

ρ(𝑇)

=

𝑎𝑇⁴

,

(4.7)

где

𝑎

=

8π⁵𝑘⁴

15𝑐³ℎ³

.

(4.8)

Формула (4.7) выражает закон Стефана — Больцмана. Величина 𝑎 называется постоянной Стефана.

Интегрируя по всем частотам выражение (4.2), находим полную интенсивность излучения абсолютно чёрного тела

𝐵(𝑇)

=

𝑎𝑐

4π

𝑇⁴

.

(4.9)

Из (4.5) и (4.9) следует, что полный поток излучения, выходящего из абсолютно чёрного тела, равен

𝐻(𝑇)

=

σ𝑇⁴

,

(4.10)

где

σ

=

𝑎𝑐

4

.

(4.11)

2. Предположение о локальном термодинамическом равновесии звёздной фотосферы.

Поле излучения в фотосфере сильно отличается от поля излучения при термодинамическом равновесии. Это видно уже из того, что интенсивность излучения в фотосфере зависит от глубины и от направления. Поэтому не может быть и речи о наличии термодинамического равновесия в фотосфере в целом.

Даже условия в элементарном объёме фотосферы очень далеки от условий термодинамического равновесия (хотя бы вследствие неизотропности падающего на объём излучения). Однако излучение, поглощаемое элементарным объёмом, в сильной степени им перерабатывается. Как известно, такая переработка идёт в направлении установления термодинамического равновесия. Поэтому можно предположить, что в каждом месте фотосферы коэффициент излучения ε_ν связан с коэффициентом поглощения α_ν таким же соотношением, как и при термодинамическом равновесии с некоторой температурой 𝑇, характерной для данного места. При этом температура определяется из того условия, что полное количество энергии, излучаемое элементарным объёмом, равно полному количеству энергии, поглощаемому этим объёмом, т.е. из условия лучистого равновесия.

Указанное предположение называется предположением о локальном термодинамическом равновесии звёздной фотосферы. Несомненно, что оно выполняется с большой точностью в глубоких слоях фотосферы. Вопрос же о том, в какой мере это предположение выполняется в поверхностных слоях звезды, довольно труден для теоретического рассмотрения. Некоторые заключения по этому вопросу могут быть сделаны на основе сравнения теории с наблюдениями (см. §6).

Предположение о локальном термодинамическом равновесии означает, что в звёздной фотосфере отношение коэффициента излучения к коэффициенту поглощения даётся формулами (4.1) и (4.2), т.е.

ε_ν

α_ν

=

2ℎν³

𝑐²

1

exp(ℎν/(𝑘𝑇))-1

.

(4.12)

Формула (4.12) принадлежит к числу основных соотношений теории фотосфер (вместе с уравнением переноса излучения и уравнением лучистого равновесия).

Принятие предположения о локальном термодинамическом равновесии сильно упрощает теорию фотосфер. Без такого предположения расчёт поля излучения в фотосфере для разных частот был бы чрезвычайно трудным.

Как и раньше, мы сейчас допустим, что коэффициент поглощения не зависит от частоты. В этом случае зависимость температуры от оптической глубины получается в явном виде и расчёт поля излучения в фотосфере для разных частот выполняется совсем легко.

Если коэффициент поглощения не зависит от частоты, то формула (4.12) принимает вид

ε

_ν

=

α

2ℎν³

𝑐²

1

exp(ℎν/(𝑘𝑇))-1

.

(4.13)

Интегрируя (4.13) по всем частотам, получаем

ε

=

α

𝑎𝑐

4π

𝑇⁴

,

(4.14)

где принято во внимание (4.9). Как и в § 2, обозначим ε=α𝑆. Величина 𝑆 была найдена в теории лучистого равновесия как функция от оптической глубины τ. Поэтому имеем

𝑆(τ)

=

𝑎𝑐

4π

𝑇⁴

.

(4.15)

Этой формулой и даётся связь температуры с оптической глубиной.

Если величина 𝑆(τ) найдена в приближении Эддингтона, то она определяется формулой (2.33). В этом случае получаем

𝑎𝑐

4π

𝑇⁴

=

𝑛𝐹

⎛

⎜

⎝

1

2

+

3

4

τ

⎞

⎟

⎠

.

(4.16)

Взяв для 𝑆(τ) точное выражение, даваемое формулой (2.50), находим

𝑎𝑐

4π

𝑇⁴

=

𝑛𝐹

3

4

⎡

⎣

τ

+

𝑞(τ)

⎤

⎦

.

(4.17)

Входящая в формулы (4.16) и (4.17) величина 𝑛𝐹 есть полный поток излучения в фотосфере. Его удобно представить как полный поток излучения абсолютно чёрного тела некоторой температуры 𝑇_𝑒 т.е., основываясь на формуле (4.10), положить

𝑛𝐹

=

σ𝑇

4

𝑒

,

(4.18)

где σ=𝑎𝑐/4. Температура 𝑇_𝑒 называется эффективной температурой звезды. Со светимостью звезды 𝐿 и её радиусом 𝑅 она связана соотношением

𝐿

=

4π

𝑅²

σ𝑇

4

𝑒

.

(4.19)

Подстановка (4.18) в формулы (4.16) и (4.17) даёт

𝑇⁴

=

𝑇

4

𝑒

⎛

⎜

⎝

1

2

+

3

4

τ

⎞

⎟

⎠

,

(4.20)

𝑇⁴

=

𝑇

4

𝑒

⎡

⎣

τ

+

𝑞(τ)

⎤

⎦

.

(4.21)