Курс теоретической астрофизики

Вопрос о зависимости коэффициента поглощения от частоты и о влиянии этой зависимости на вид спектра звезды будет подробно рассмотрен в двух следующих параграфах. Сейчас же мы попытаемся определить некоторые характеристики звёздной фотосферы, сохраняя допущение о независимости коэффициента поглощения от частоты. Полученные ниже результаты можно применять в качестве приближения к реальным фотосферам, если пользоваться некоторым средним коэффициентом поглощения (т.е. коэффициентом поглощения, усреднённым по частоте).

4. Зависимость температуры и плотности от глубины.

Ранее была найдена зависимость температуры от оптической глубины в фотосфере. При этом были сделаны предположения о лучистом равновесии и локальном термодинамическом равновесии. Теперь мы найдём зависимость температуры и плотности от геометрической глубины в фотосфере. Для этого нам придётся сделать ещё одно предположение — о механическом равновесии фотосферы. Очевидно, что справедливость этого предположения для подавляющего большинства звёзд не вызывает сомнений (кроме звёзд типа Вольфа — Райе, новых и подобных им звёзд, которых мы сейчас рассматривать не будем).

Будем считать, что каждый элемент объёма в фотосфере находится в равновесии под действием двух сил: силы тяготения и силы газового давления (световым давлением пока пренебрегаем). Приравнивая эти силы друг другу, получаем уравнение гидростатического равновесия

𝑑𝑝

=-

𝑔ρ

𝑑𝑟

,

(4.42)

где 𝑝 — давление, ρ — плотность и 𝑔 — ускорение силы тяжести в фотосфере.

Очевидно, что газ в фотосфере можно считать идеальным. Поэтому к уравнению (4.42) добавим ещё уравнение состояния идеального газа:

𝑝

=

𝑅*

μ

ρ𝑇

,

(4.43)

где μ — средний молекулярный вес и 𝑅* — газовая постоянная.

Считая, что μ не меняется в фотосфере, из (4.42) и (4.43) находим

𝑅*

μ

𝑑(ρ𝑇)

=-

𝑔ρ

𝑑𝑟

.

(4.44)

Воспользуемся также полученной выше связью между температурой 𝑇 и оптической глубиной τ. Приближённая связь между этими величинами даётся формулой (4.20), из которой следует

𝑑𝑇⁴

=-

3

4

𝑇

4

𝑒

α

𝑑𝑟

.

(4.45)

Здесь под α, как уже сказано, может пониматься средний коэффициент поглощения.

Из двух последних уравнений можно найти ρ и 𝑇 в виде функций от 𝑟. Но для этого надо задать зависимость α от ρ и 𝑇. Мы положим α=ϰρ и будем сначала считать, что ϰ=const. Тогда из уравнений (4.44) и (4.45) получаем

𝑑(ρ𝑇)

=

3

4

𝑔μ

ϰ𝑅*

𝑑𝑇⁴

𝑇

4

𝑒

,

(4.46)

или, после интегрирования,

ρ

=

4

3

𝑔μ

ϰ𝑅*

𝑇⁴

-

𝑇

4

0

𝑇

4

𝑒 𝑇

,

(4.47)

где 𝑇₀ — поверхностная температура звезды.

В глубоких слоях фотосферы, где 𝑇⁴≫𝑇₀⁴ плотность оказывается связанной с температурой соотношением

ρ

=

4

3

𝑔μ

ϰ𝑅*

𝑇³

𝑇

4

𝑒

.

(4.48)

Подставляя (4.48) в (4.44), находим следующую формулу для градиента температуры:

𝑑𝑇

𝑑𝑟

=-

𝑔μ

4𝑅*

.

(4.49)

Уравнения (4.44) и (4.45) могут быть легко решены и при более общих предположениях относительно α. Допустим, например, что

α

~

ρ²

𝑇^𝑠

,

(4.50)

где 𝑠 — некоторый параметр (такая формула для α, как увидим в § 5, действительно встречается). Тогда вместо (4.48) и (4.49) получаем

ρ

~

𝑇

^(𝑠+3)/2

(4.51)

и

𝑑𝑇

𝑑𝑟

=-

2

𝑠+5

𝑔μ

𝑅*

.

(4.52)

Применим полученные выше формулы к фотосфере Солнца. Полагая в формуле (4.49) 𝑔=2,7⋅10⁴, μ=1, 𝑅*=8,3⋅10⁷, находим: 𝑑𝑇/𝑑𝑟=-10⁻⁴ кельвинов/см. Следовательно, при углублении в фотосферу Солнца на 1 км температура возрастает на 10 кельвинов.

Из полученных формул можно также найти величину |𝑑𝑟/𝑑τ|. т.е. геометрическую толщину слоя единичной оптической толщины. Подставляя в формулу 𝑑τ=-ϰρ 𝑑𝑟 выражение (4.48), находим

𝑑𝑟

𝑑τ

=-

3

4

𝑅*𝑇_𝑒

𝑔μ𝑇³

.

(4.53)

Если мы положим здесь 𝑇=𝑇_𝑒 то величина |𝑑𝑟/𝑑τ|. будет характеризовать собой толщину фотосферы. В случае Солнца толщина фотосферы оказывается порядка 100 км. Так как радиус Солнца равен 700 000 км, то мы убеждаемся в том, что толщина фотосферы гораздо меньше радиуса. Этим результатом мы уже пользовались раньше, считая фотосферные слои плоскопараллельными.

5. Световое давление в фотосфере.

При рассмотрении механического равновесия фотосферы мы не приняли во внимание световое давление. Оценим теперь роль светового давления в фотосфере, найдя отношение светового давления к газовому. Для этого получим сначала общие формулы, определяющие силу светового давления. В дальнейшем эти формулы нам понадобятся для применения не только к фотосфере, но и к другим объектам.

Как известно, каждый фотон обладает количеством движения, равным ℎν/𝑐 Если фотон поглощается атомом, то атом получает количество движения ℎν/𝑐 в направлении движения фотона. Этим и вызывается давление излучения на атомы.