Курс теоретической астрофизики

Полагая в полученных формулах τ=0, мы можем определить поверхностную температуру 𝑇₀. В приближении Эддингтона находим

𝑇₀

=

2⁻¹

^/

⁴

𝑇

_𝑒

=

0,841

𝑇

_𝑒

.

(4.22)

Точная связь между 𝑇₀ и 𝑇_𝑒 такова:

𝑇₀

=

⎛

⎜

⎝

√3

4

⎞¹/₄

⎟

⎠

𝑇

_𝑒

=

0,811

𝑇

_𝑒

.

(4.23)

Положив в тех же формулах 𝑇=𝑇_𝑒, мы находим оптическую глубину, соответствующую эффективной температуре звезды. Она получается равной τ=²/₃ по формуле (4.20) и τ=0,64 по формуле (4.21).

3. Излучение, выходящее из фотосферы.

Чтобы определить поле излучения в фотосфере для разных частот, мы должны воспользоваться уравнением переноса излучения

cosθ

𝑑𝐼_ν

𝑑𝑟

=-

α

_ν

𝐼

_ν

+

ε

_ν

.

(4.24)

Полагая здесь

ε_ν

α_ν

=

𝑆

_ν

(4.25)

и вводя оптическую глубину в фотосфере в частоте ν

τ

_ν

=

∞

∫

𝑟

α

_ν

𝑑𝑟

,

(4.26)

вместо (4.24) получаем

cosθ

𝑑𝐼_ν(τ_ν,θ)

𝑑τ_ν

=

𝐼

_ν

(τ

_ν

,θ)

-

𝑆

_ν

(τ

_ν

)

.

(4.27)

Интегрируя уравнение (4.27), можно найти интенсивность излучения на разных оптических глубинах. Для нас наибольший интерес представляет интенсивность излучения, выходящего из звезды, т.е. величина 𝐼_ν(0,θ). Эта величина равна

𝐼

_ν

(0,θ)

=

∞

∫

0

𝑆

_ν

(τ

_ν

)

𝑒

^-τ_νsecθ

secθ

𝑑τ

_ν

.

(4.28)

Формула (4.28) есть простое следствие уравнения переноса излучения. Воспользуемся теперь предположением о локальном термодинамическом равновесии. Сравнивая между собой формулы (4.25) и (4.1), мы видим, что при этом предположении

𝑆

_ν

(τ

_ν

)

=

𝐵

_ν

(𝑇)

,

(4.29)

где 𝐵_ν(𝑇) — интенсивность излучения абсолютно чёрного тела, даваемая формулой (4.2). Поэтому в случае локального термодинамического равновесия вместо (4.28) получаем

𝐼

_ν

(0,θ)

=

∞

∫

0

𝐵

_ν

(𝑇)

𝑒

^-τ_νsecθ

secθ

𝑑τ

_ν

.

(4.30)

или

𝐼

_ν

(0,θ)

=

2ℎν³

𝑐²

∞

∫

0

𝑒^-τ_νsecθsecθ𝑑τ_ν

𝑒^{ℎν/(𝑘𝑇)}-1

(4.31)

Формула (4.31) даёт интенсивность излучения частоты ν, выходящего из звезды под углом θ к радиусу-вектору. Вместе с тем она даёт яркость диска звезды в частоте ν на угловом расстоянии θ от центра диска (см. § 2).

Величина 𝐼_ν(0,θ) может быть найдена из наблюдений Солнца и затменных переменных. Из наблюдений других звёзд получается лишь величина, пропорциональная потоку излучения 𝐻_ν с поверхности звезды. Точнее говоря, эти наблюдения дают освещённость от звезды, равную

ℰ

_ν

=

𝐿_ν

4π𝑟²

(4.32)

где ℰ_ν — светимость звезды в частоте ν и 𝑟 — расстояние от звезды до наблюдателя. Но

ℰ

_ν

=

4π𝑅²

𝐻

_ν

,

(4.33)

где 𝑅 — радиус звезды. Поэтому имеем

ℰ

_ν

=

⎛

⎜

⎝

𝑅

𝑟

⎞²

⎟

⎠

𝐻

_ν

.

(4.34)

Таким образом, поток излучения 𝐻_ν характеризует относительное распределение энергии в спектре звезды.

Поток излучения 𝐻_ν определяется формулой

𝐻

_ν

=

2π

π/2

∫

0

𝐼

_ν

(0,θ)

cosθ

sinθ

𝑑θ

,

(4.35)

вытекающей из (1.5). Подставляя в (4.35) выражение (4.28) и меняя порядок интегрирования, находим

𝐻

_ν

=

2π

∞

∫

0

𝑆

_ν

(τ

_ν

)

𝐸₂

τ

_ν

𝑑τ

_ν

,

(4.36)

где 𝐸₂τ_ν — вторая интегральная показательная функция [сравните с формулой (2.50)1.

При предположении о локальном термодинамическом равновесии в фотосфере, из (4.36) следует

𝐻

_ν

=

2π

∞

∫

0

𝐵

_τ

(𝑇)

𝐸₂

τ

_ν

𝑑τ

_ν

,

(4.37)

или

𝐻

_ν

=

4πℎν³

𝑐²

∞

∫

0

𝐸₂τ_ν𝑑τ_ν

𝑒^{ℎν/(𝑘𝑇)}-1

.

(4.38)

Формулы (4.31) и (4.38) справедливы при любой зависимости коэффициента поглощения от частоты. Однако чтобы воспользоваться этими формулами, необходимо знать связь между величинами 𝑇 и τ_ν. В дальнейшем мы займёмся установлением такой связи при произвольном коэффициенте поглощения α_ν. Сейчас же, как и раньше, допустим, что коэффициент поглощения не зависит от частоты. В этом случае τ_ν=τ, а связь между 𝑇 и τ даётся формулой (4.21) [или приближённой формулой (4.20)].

В указанном случае вместо формул (4.31) и (4.38) получаем

𝐼

_ν

(0,θ)

=

2ℎν³

𝑐²

∞

∫

0

𝑒

^-τsecθ

secθ 𝑑τ

exp

⎡

⎢

⎣

ℎν

⎛

⎜

⎝

1

+

3

τ

⎞

⎟

⎠

⎤-1/4

⎥

⎦

-1

𝑘𝑇

_𝑒

2

4

(4.39)

и

𝐻

_ν

=

4πℎν³

𝑐²

∞

∫

0

𝐸₂τ 𝑑τ

exp

⎡

⎢

⎣

ℎν

⎛

⎜

⎝

1

+

3

τ

⎞

⎟

⎠

⎤-1/4

⎥

⎦

-1

𝑘𝑇

_𝑒

2

4

(4.40)

где использована формула (4.20).

Вычисления показывают, что распределение энергии в непрерывном спектре звезды, даваемое формулой (4.40), не сильно отличается от планковского распределения при температуре, равной эффективной температуре звезды, т.е.

𝐻

_ν

≃

π

2ℎν³

𝑐²

1

𝑒^{ℎν/(𝑘𝑇_𝑒)}-1

(4.41)

Только в далёкой ультрафиолетовой области спектра имеется значительный избыток излучения по сравнению с планковским, причём он растёт с увеличением частоты ν.

Однако наблюдаемое распределение энергии в спектрах звёзд не согласуется с теоретическим распределением, даваемым формулой (4.40). При этом для звёзд разных спектральных классов расхождения между наблюдениями и теорией различны. Например, расхождения не очень велики для видимой части спектра Солнца, но очень велики для видимой части спектров звёзд классов 𝙰 и 𝙱. Объясняется это тем, что формула (4.40) написана при предположении о независимости коэффициента поглощения от частоты. Очевидно, что влияние зависимости коэффициента поглощения от частоты на распределение энергии в спектре звезды должно быть очень существенным.