Курс теоретической астрофизики

вытекающее из (3.25). Обращение преобразования Лапласа даёт

Φ(τ)

=

√

3

+

2

1

∫

0

𝑒^-τ/μ𝑑μ

⎡

⎢

⎣ (πμ)² +

⎛

⎜

⎝ 2 + μ ln

1-μ

1+μ

⎞

⎟

⎠

²

  μφ(μ)

⎤

⎥

⎦

.

(3.55)

Знание функции Φ(τ) позволяет получить как решение однородного уравнения (3.51), так и решение соответствующего ему неоднородного уравнения. Однако нас сейчас интересует только решение уравнения (3.51). Это решение определяется формулой (3.31).

Из уравнения (3.35) следует, что в данном случае 𝑘=0. Поэтому имеем

𝑆(τ)

=

𝑆(0)

⎡

⎢

⎣

1

+

τ

∫

0

Φ(τ')

𝑑τ'

⎤

⎥

⎦

.

(3.56)

Формулой (3.56) и даётся искомое точное решение интегрального уравнения Милна.

Мы можем также получить точный закон распределения яркости по диску звезды. Яркость на угловом расстоянии θ от центра диска даётся формулой (2.54). Полагая в ней cos θ=μ, приходим к формуле (3.36). Выше было показано, что интенсивность излучения 𝐼(0,μ) при источниках на бесконечности определяется формулой (3.50). Но в данном случае 𝑘=0 и 𝑆(0,1/μ)=φ(μ). Поэтому яркость на угловом расстоянии arccos μ от центра диска будет равна

𝐼(0,μ)

=

𝑆(0)

φ(μ)

.

(3.57)

Для отношения яркости в центре диска к яркости на краю находим значение φ(1)/φ(0)=2,9, уже упоминавшееся в предыдущем параграфе.

Входящую в формулы (3.56) и (3.57) величину 𝑆(0) можно выразить через поток излучения в фотосфере 𝑛𝐹. Мы имеем

𝐹

=

2

1

∫

0

𝐼(0,μ)

μ𝑑μ

=

2𝑆(0)

α₁

,

(3.58)

где использовано обозначение

α

_𝑛

1

∫

0

φ(μ)

μ

^𝑛

𝑑μ

.

(3.59)

Величины α_𝑛, представляющие собой моменты функции φ(μ), могут быть найдены из уравнения (3.53). Интегрируя это уравнение по μ в пределах от 0 до 1, получаем

α₀

=

1

+

1

2

1

∫

0

1

∫

0

φ(μ)

φ(μ')

μ

μ+μ'

𝑑μ

𝑑μ'

=

=

1

+

1

2

α

2

0

-

1

2

1

∫

0

1

∫

0

φ(μ)

φ(μ')

μ

μ+μ'

𝑑μ

𝑑μ'

=

=

2

+

1

2

α

2

0

-

α₀

,

(3.60)

откуда следует, что

α₀

=

2.

(3.61)

Умножая (3.53) на μ²𝑑μ и интегрируя в пределах от 0 до 1, аналогично находим

α₁

=

2

√3

.

(3.62)

Подстановка (3.62) в (3.58) даёт

𝐹

=

4

√3

𝑆(0)

.

(3.63)

Эта формула, выражающая точную зависимость между величинами 𝐹 и 𝑆(0), уже приводилась в предыдущем параграфе.

Подставляя (3.63) в (3.56), находим

𝑆(τ)

=

√3

4

𝐹

⎡

⎢

⎣

1

+

τ

∫

0

Φ(τ')

𝑑τ'

⎤

⎥

⎦

.

(3.64)

Сравнение (3.64) с (2.51) даёт

𝑞(τ)

=

1

√3

⎡

⎢

⎣

1

+

τ

∫

0

Φ(τ')

𝑑τ'

⎤

⎥

⎦

-

τ.

(3.65)

Если мы подставим в (3.65) выражение (3.55), то придём к формуле, позволяющей вычислить функцию 𝑞(τ) по известным значениям функции φ(μ).

§ 4. Локальное термодинамическое равновесие

1. Поле излучения при термодинамическом равновесии.

Как увидим дальше, в теории фотосфер широко используются формулы, описывающие состояние термодинамического равновесия. Поэтому мы должны привести некоторые из этих формул. Особый интерес представляет для нас вопрос о поле излучения при термодинамическом равновесии.

Как известно, термодинамическое равновесие осуществляется в полости, стенки которой нагреты до некоторой постоянной температуры 𝑇. Состояние термодинамического равновесия характеризуется тем, что каждый процесс уравновешивается противоположным ему процессом (в этом состоит «принцип детального равновесия»).

Отсюда, в частности, следует, что интенсивность излучения при термодинамическом равновесии не зависит ни от места, ни от направления. Если бы это было не так, то совершался бы переход энергии из одного места в другое в некоторых направлениях.

Очевидно также, что интенсивность излучения при термодинамическом равновесии не зависит от индивидуальных свойств полости. Для уяснения этого достаточно допустить, что имеются две полости с одинаковыми температурами, но с разными значениями интенсивности излучения частоты ν. Тогда при соединении этих полостей начался бы переход энергии из одной полости в другую, в противоречии со вторым началом термодинамики.

Таким образом, интенсивность излучения при термодинамическом равновесии зависит только от частоты и температуры. Мы обозначим эту интенсивность через 𝐵_ν(𝑇).

Применим к рассматриваемому случаю уравнение переноса излучения (1.11). Так как в данном случае 𝑑𝐼_ν/𝑑𝑠=0, то из (1.11) следует

ε_ν

α_ν

=

𝐵

_ν

(𝑇)

.

(4.1)

Формулой (4.1) выражается закон Кирхгофа: при термодинамическом равновесии отношение коэффициента излучения к коэффициенту поглощения равно интенсивности излучения, являющейся универсальной функцией от частоты и температуры.

Выражение для интенсивности излучения при термодинамическом равновесии впервые было найдено Планком. Формула Планка имеет вид

𝐵

_ν

(𝑇)

=

2ℎν³

𝑐²

1

exp(ℎν/(𝑘𝑇))-1

,

(4.2)

где ℎ — постоянная Планка и 𝑘 — постоянная Больцмана.

Как уже сказано, интенсивность излучения при термодинамическом равновесии не зависит от направления, т.е. излучение является изотропным. В этом случае, как следует из формулы (1.3), плотность излучения равна

ρ

_ν

(𝑇)

=

4π

𝑐

𝐵

_ν

(𝑇)

.

(4.3)

Поэтому при термодинамическом равновесии для плотности излучения ρ_ν(𝑇) получаем

ρ

_ν

(𝑇)

=

8πℎν³

𝑐³

1

exp(ℎν/(𝑘𝑇))-1

.

(4.4)