Курс теоретической астрофизики

Через функцию Φ(τ) выражается решение уравнения (3.1) при любой функции 𝑔(τ). Поэтому функция Φ(τ) должна играть фундаментальную роль в теории рассматриваемых уравнений. С целью определения этой функции мы сейчас получим некоторые вспомогательные уравнения. Вместе с тем, как мы увидим дальше, эти уравнения представят интерес и сами по себе.

Рассмотрим уравнение

𝑆(τ,𝑥)

=

∞

∫

0

𝐾(|τ-τ'|)

𝑆(τ',𝑥)

𝑑τ'

+

𝑒

^-𝑥τ

,

(3.11)

являющееся частным случаем уравнения (3.1). На основании формулы (3.2) имеем

𝑆(τ,𝑥)

=

𝑒

^-𝑥τ

+

∞

∫

0

Γ(τ',τ)

𝑒

^-𝑥τ'

𝑑τ'

.

(3.12)

Умножая (3.7) на 𝑒^-𝑥τ', интегрируя по τ' в пределах от 0 до ∞ и учитывая (3.12), получаем

∂𝑆(τ,𝑥)

∂τ

=-

𝑥𝑆(τ,𝑥)

+

Φ(τ)

⎡

⎢

⎣

1

+

∞

∫

0

Φ(τ')

𝑒

^-𝑥τ'

𝑑τ'

⎤

⎥

⎦

.

(3.13)

Но из (3.12) следует

𝑆(0,𝑥)

=

1

+

∞

∫

0

Φ(τ)

𝑒

^-𝑥τ

𝑑τ

.

(3.14)

Поэтому находим

∂𝑆(τ,𝑥)

∂τ

=-

𝑥𝑆(τ,𝑥)

+

𝑆(0,𝑥)

Φ(τ)

.

(3.15)

Интегрирование уравнения (3.15) даёт

𝑆(τ,𝑥)

=

𝑆(0,𝑥)

⎡

⎢

⎣

𝑒

^-𝑥τ

+

τ

∫

0

𝑒

^{-𝑥(τ-τ')}

Φ(τ')

𝑑τ'

⎤

⎥

⎦

.

(3.16)

В большинстве задач о переносе излучения ядро интегрального уравнения (3.1) представляется в виде

𝐾(τ)

=

𝑏

∫

𝑎

𝐴(𝑦)

𝑒

^-𝑦τ

𝑑𝑦

,

(3.17)

где 𝐴(𝑦) — произвольная функция, 𝑎 и 𝑏 — некоторые числа. В этом случае для определения функции 𝑆(0,𝑥) получаются сравнительно простые уравнения. В свою очередь искомая функция Φ(τ) выражается через функцию 𝑆(0,𝑥).

Если 𝐾(τ) даётся формулой (3.17), то из уравнения (3.11) следует

𝑆(0,𝑥)

=

1

+

𝑏

∫

𝑎

𝐴(𝑦)

𝑑𝑦

∞

∫

0

𝑆(τ,𝑥)

𝑒

^-𝑦τ

𝑑τ

.

(3.18)

Умножая (3.15) на 𝑒^-𝑦τ, интегрируя по τ в пределах от 0 до ∞ и принимая во внимание (3.14), находим

∞

∫

0

𝑆(τ,𝑥)

𝑒

^-𝑦τ

𝑑τ

=

𝑆(0,𝑥)𝑆(0,𝑦)

𝑥+𝑦

.

(3.19)

Подстановка (3.19) в (3.18) даёт

𝑆(0,𝑥)

=

1

+

𝑆(0,𝑥)

𝑏

∫

𝑎

𝐴(𝑦)

𝑆(0,𝑦)

𝑥+𝑦

𝑑𝑦

.

(3.20)

Мы получили нелинейное интегральное уравнение для определения 𝑆(0,𝑥), которое легко может быть решено численно.

Из уравнения (3.20) можно также получить линейное интегральное уравнение для определения 𝑆(0,𝑥). Умножая (3.20) на 𝐴(𝑥)/(𝑥-𝑧) и интегрируя по 𝑥 в пределах от 𝑎 до 𝑏 после небольших преобразований находим

𝑆(0,𝑧)

⎡

⎢

⎣

1

-

2

𝑏

∫

𝑎

𝐴(𝑥)

𝑥𝑑𝑥

𝑥²-𝑧²

⎤

⎥

⎦

=

1

-

𝑏

∫

𝑎

𝐴(𝑥)

𝑆(0,𝑥)

𝑥-𝑧

𝑑𝑥

.

(3.21)

Решение этого уравнения может быть получено в явном виде.

3. Определение функции Φ(τ).

Сравнивая между собой уравнения (3.10) и (3.11), мы видим, что свободный член уравнения (3.10) является суперпозицией свободных членов уравнения (3.11). Поэтому имеем

Φ(τ)

=

𝑏

∫

𝑎

𝐴(𝑥)

𝑆(τ,𝑥)

𝑑𝑥

.

(3.22)

Умножая (3.16) на 𝐴(𝑥) и интегрируя по 𝑥 в пределах от 𝑎 до 𝑏, находим

Φ(τ)

=

𝐿(τ)

+

τ

∫

0

𝐿(τ-τ')

Φ(τ')

𝑑τ'

,

(3.23)

где

𝐿(τ)

=

𝑏

∫

𝑎

𝐴(𝑥)

𝑆(0,𝑥)

𝑒

^-𝑥τ

𝑑𝑥

.

(3.24)

Уравнение (3.23) является искомым уравнением для определения функции Φ(τ). Применяя к нему преобразование Лапласа, получаем

∞

∫

0

Φ(τ)

𝑒

^-𝑠τ

𝑑τ

=

⎛

⎜

⎝

1

-

𝑏

∫

𝑎

𝐴(𝑥)

𝑆(0,𝑥)

𝑑𝑥

𝑥+𝑠

⎞⁻¹

⎟

⎠

-

1.

(3.25)

Таким образом, определение резольвенты уравнения (3.1) сводится к нахождению функции 𝑆(0,𝑥) из уравнения (3.20) [или (3.21)] и последующему определению функции Φ(τ) из (3.25) путём обращения преобразования Лапласа. Последняя операция легко выполняется методом контурного интегрирования при использовании соотношения (3.21).

Если функция Φ(τ) известна, то при помощи формул (3.2) и (3.9) может быть найдена и функция 𝑆(τ) при любых источниках излучения. В некоторых случаях функция 𝑆(τ) выражается через Φ(τ) весьма просто. Примером может служить случай, когда источники излучения распределены в среде экспоненциально. Как уже было показано выше, при 𝑔(τ)=𝑒^-𝑥τ функция 𝑆(τ), обозначенная, нами через 𝑆(τ,𝑥), даётся формулой (3.16).

Особенно простое выражение для функции 𝑆(τ) получается при равномерном распределении источников излучения в среде, т.е. при 𝑔(τ)=1. Полагая в формуле (3.16) 𝑥=0, находим

𝑆(τ,0)

=

𝑆(0,0)

⎡

⎢

⎣

1

+

τ

∫

0

Φ(τ')

𝑑τ'

⎤

⎥

⎦

.

(3.26)

Входящая в формулу (3.26) величина 𝑆(0,0) непосредственно выражается через функцию 𝐴(𝑥). Положим в (3.20) 𝑥=0 и в (3.21) 𝑧=0. Тогда из полученных уравнений следует

𝑆²(0,0)

⎡

⎢

⎣

1

-

2

𝑏

∫

𝑎

𝐴(𝑥)

𝑑𝑥

𝑥

⎤

⎥

⎦

=

1.

(3.27)

Простые формулы для функции 𝑆(τ) можно также получить при: 𝑔(τ)=τ^𝑛, где 𝑛 — целое число.

4. Решение однородного уравнения.

Выше было показано, что решение неоднородного уравнения (3.1) при любой функции 𝑔(τ) выражается через функцию Φ(τ). Теперь мы покажем, что через ту же функцию Φ(τ) выражается решение однородного уравнения

𝑆(τ)

=

∞

∫

0

𝐾(|τ-τ'|)

𝑆(τ')

𝑑τ'

.

(3.28)

С физической точки зрения это уравнение соответствует случаю, когда источники энергии расположены на бесконечно большой глубине.

Предполагая, что решение уравнения (3.28) существует, продифференцируем его по τ. В результате находим

𝑆'(τ)

=

∞

∫

0

𝐾(|τ-τ'|)

𝑆'(τ')

𝑑τ'

𝑆(0)

𝐾(τ)

.

(3.29)

Сравнивая между собой уравнения (3.29) и (3.10), мы видим, что

𝑆'(τ)

=

𝑘

𝑆(τ)

+

𝑆(0)

Φ(τ)

,

(3.30)

где 𝑘 — некоторая постоянная. Из (3.30) следует

𝑆(τ)

=

𝑆(0)

⎡

⎢

⎣

𝑒

^𝑘τ

τ

∫

0

𝑒

^𝑘(τ-τ')

Φ(τ')

𝑑τ'

⎤

⎥

⎦

.

(3.31)

Для нахождения постоянной 𝑘 рассмотрим уравнение (3.28) при τ=0. Учитывая (3.17), имеем

𝑆(0)

=

𝑏

∫

𝑎

𝐴(𝑥)

𝑑𝑥

∞

∫

0

𝑆(τ)

𝑒

^-𝑥τ

𝑑τ

.

(3.32)

Умножая (3.30) на 𝑒^-𝑥τ интегрируя по τ в пределах от 0 до ∞ и принимая во внимание (3.14), находим

∞

∫

0

𝑆(τ)

𝑒

^-𝑥τ

𝑑τ

=

𝑆(0)

𝑆(0,𝑥)

𝑥-𝑘

.

(3.33)

Подстановка (3.33) в (3.32) даёт

𝑏

∫

𝑎

𝐴(𝑥)

𝑆(0,𝑥)

𝑥-𝑘

𝑑𝑥

=

1,

(3.34)

или, при учёте (3.21),

2

𝑏

∫

𝑎

𝐴(𝑥)

𝑥 𝑑𝑥

𝑥²-𝑘²

=

1.

(3.35)