Курс теоретической астрофизики

После нахождения величин 𝐼_𝑖 из уравнений (2.36) основная искомая функция 𝑆(τ) определяется по формуле

𝑆(τ)

=

1

2

∑

𝑎

_𝑗

𝐼

_𝑗

.

(2.37)

Найдём в виде примера функцию 𝑆(τ) в первом приближении. В данном случае μ₁=-μ_-1=1/√3, 𝑎₁=𝑎_-1=1. Поэтому вместо (2.36) получаем

1

√3

𝑑𝐼₁

𝑑τ

=

𝐼

₁

-

1

2

(

𝐼

₁

+

𝐼

_-1

),

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

-

1

√3

𝑑𝐼_-1

𝑑τ

=

𝐼

_-1

-

1

2

(

𝐼

₁

+

𝐼

_-1

).

(2.38)

Система уравнений (2.38) должна быть решена при условиях, что 𝐼_-1=0 при τ=0 и

2

√3

(

𝐼

₁

+

𝐼

_-1

)=

𝐹

.

(2.39)

Находя 𝐼₁ и 𝐼_-1 из (2.38) при указанных условиях, для искомой функции 𝑆(τ) получаем

𝑆(τ)

=

3

4

𝐹

⎛

⎜

⎝

τ

+

1

3

⎞

⎟

⎠

.

(2.40)

Как мы увидим дальше, выражение (2.40) для функции 𝑆(τ) оказывается более точным, чем полученные ранее выражения (2.24) и (2.33). Увеличив число членов в квадратурной формуле (2.35), можно получить ещё более точные выражения для 𝑆(τ).

4. Интегральное уравнение Милна.

Из системы уравнений (2.9) можно получить одно интегральное уравнение для определения функции 𝑆(τ). Для этого надо решить первое из уравнений (2.9) относительно 𝐼(τ,θ) и подставить найденное выражение 𝐼(τ,θ) через 𝑆(τ) во второе из этих уравнений. Такой путь решения задачи представляется наиболее естественным, так как мы получаем одно уравнение для определения функции, зависящей только от одного аргумента.

Общее решение первого из уравнений (2.9) имеет вид

𝐼(τ,θ)

=

𝐼(τ

_∗

,θ)

𝑒

^{-(τ_∗-τ)secθ}

+

+

τ_∗

∫

τ

𝑒

^{-(τ'-τ)secθ}

𝑆(τ')

secθ

𝑑τ'

.

(2.41)

Оно представляет собой уравнение переноса излучения в интегральной форме [сравните с уравнением (1.14)].

Уравнение (2.41) следует рассматривать отдельно для двух случаев: для излучения, идущего снизу вверх, и для излучения, идущего сверху вниз.

В первом случае, полагая τ_∗=∞ и считая, что интенсивность излучения не возрастает экспоненциально с ростом τ, получаем

𝐼(τ,θ)

=

∞

∫

τ

𝑒

^{-(τ'-τ)secθ}

𝑆(τ')

secθ

𝑑τ'

⎛

⎜

⎝

θ

<

π

2

⎞

⎟

⎠

.

(2.42)

Во втором случае, полагая τ_∗=0 и принимая во внимание граничное условие (2.10), находим

𝐼(τ,θ)

=-

τ

∫

0

𝑒

^{-(τ'-τ)secθ}

𝑆(τ')

secθ

𝑑τ'

⎛

⎜

⎝

θ

>

π

2

⎞

⎟

⎠

.

(2.43)

Теперь мы должны подставить выражения (2.42) и (2.43) во второе из уравнений (2.9). Делая эту подстановку и меняя порядок интегрирования, имеем

𝑆(τ)

=

1

2

∞

∫

τ

𝑆(τ')

𝑑τ'

×

×

π/2

∫

0

𝑒

^{-(τ'-τ)secθ}

𝑆(τ')

secθ

sinθ

𝑑θ

-

-

1

2

τ

∫

0

𝑆(τ')

𝑑τ'

π

∫

π/2

𝑒

^{-(τ'-τ)secθ}

𝑆(τ')

secθ

sinθ

𝑑θ

.

(2.44)

Положим secθ=𝑥 в первом интеграле и -secθ=𝑥 во втором. Учитывая, что secθsinθ𝑑θ=𝑑𝑥/𝑥 вместо предыдущего уравнения получаем

𝑆(τ)

=

1

2

∞

∫

τ

𝑆(τ')

𝑑τ'

∞

∫

1

𝑒

^{-(τ'-τ)𝑥}

𝑑𝑥

𝑥

+

+

1

2

τ

∫

0

𝑆(τ')

𝑑τ'

∞

∫

1

𝑒

^{-(τ-τ')𝑥}

𝑑𝑥

𝑥

.

(2.45)

Так как показатели в обеих экспонентах могут быть представлены в виде -|τ-τ'|𝑥, то (2.45) короче записывается так:

𝑆(τ)

=

1

2

∞

∫

0

𝑆(τ')

𝑑τ'

∞

∫

1

𝑒

^{-|τ-τ'|𝑥}

𝑑𝑥

𝑥

.

(2.46)

Ядро интегрального уравнения (2.46) есть интегральная показательная функция, определяемая формулой

𝐸₁τ

=

∞

∫

1

𝑒

^-τ𝑥

𝑑𝑥

𝑥

.

(2.47)

Заметим, что функция 𝐸₁τ при τ=0 имеет логарифмическую особенность, а при τ→∞ стремится к нулю как 𝑒^-τ/τ.

С помощью (2.47) интегральное уравнение для определения функции 𝑆(τ) окончательно записывается в виде

𝑆(τ)

=

1

2

∞

∫

0

𝐸₁

|τ-τ'|

𝑆(τ')

𝑑τ'

.

(2.48)

Это интегральное уравнение называется уравнением Милна.

Уравнение (2.48) определяет функцию 𝑆(τ) с точностью до произвольного множителя, который находится из того условия, что задан поток излучения 𝐻=π𝐹.

Выразим поток излучения через функцию 𝑆(τ). Для этого надо подставить в формулу (2.21) выражения (2.42) и (2.43). Выполняя такие же преобразования, как и при получении уравнения (2.48), находим

𝐹

=

2

∞

∫

τ

𝑆(τ')

𝐸₂

(τ'-τ)

𝑑τ'

-

2

τ

∫

0

𝑆(τ')

𝐸₂

(τ-τ')

𝑑τ'

,

(2.49)

где 𝐸₂τ — вторая из интегральных показательных функций, определяемых равенством

𝐸

_𝑛

τ

=

∞

∫

1

𝑒

^-τ𝑥

𝑑𝑥

𝑥^𝑛

.

(2.50)

Интегральное уравнение Милна рассматривалось многими авторами. Наиболее полное исследование принадлежит Хопфу, который нашёл, что точное решение этого уравнения имеет вид

𝑆(τ)

=

3

4

𝐹

⎡

⎣

τ

+

𝑞(τ)

⎤

⎦

(2.51)

где 𝑞(τ) — функция, монотонно изменяющаяся в небольших пределах между

𝑞(0)

=

1

√3

=

0,58

и

𝑞(∞)

=

0,71

.

Представляет интерес сравнение приближённых выражений для 𝑆(τ), полученных выше при помощи методов Шварцшильда — Шустера, Эддингтона и Чандрасекара (в первом приближении), с точной формулой (2.51). Эти приближённые выражения даются соответственно формулами (2.24), (2.33) и (2.40). Мы видим, что наибольшей точностью обладает формула (2.40). Значения функции 𝑆(τ), найденные по этой формуле при τ=0 и при больших τ, а именно

𝑆(0)

=

√3

4

𝐹

(2.52)

и

𝑆(τ)

=

3

4

𝐹τ

при

τ

≫

1

,

(2.53)

совпадают с точными значениями 𝑆(τ). Формула (2.33) даёт точные значения функции 𝑆(τ) лишь при τ≫1. Значения 𝑆(τ), полученные по формуле (2.24), отличаются от точных значений как при τ=0, так и при τ≫1.

5. Распределение яркости по диску звезды.

Рис. 3