Курс теоретической астрофизики

где интегрирование производится по всем направлениям падающего на объём излучения и γ' есть угол между каким-либо из этих направлений и направлением излучения, рассеянного объёмом.

В уравнениях (19.1) и (19.4) вместо коэффициента излучения ε введём величину 𝑆 посредством соотношения

ε

=

α𝑆

.

(19.5)

При произвольной индикатрисе рассеяния величины 𝑆 и 𝐼 зависят от оптической глубины τ зенитного расстояния θ и азимута φ. Поэтому вместо уравнений (19.1) и (19.4) мы можем написать

cos θ

𝑑𝐼(τ,θ,φ)

𝑑τ

=

𝐼(τ,θ,φ)

-

𝑆(τ,θ,φ)

,

(19.6)

𝑆(τ,θ,φ)

=

λ

4π

2π

∫

0

𝑑ψ'

π

∫

0

𝑥(γ')

𝐼(τ,θ',φ')

sin θ'

𝑑θ'

+

+

λ

4

𝐹

𝑥(γ)

exp

⎛

⎝

-τ

sec θ₀

⎞

⎠

,

(19.7)

где

cos γ'

=

cos θ

cos θ'

+

sin θ

sin θ'

cos(φ-φ')

,

⎫

⎬

⎭

cos γ

=-

cos θ

cos θ₀

+

sin θ

sin θ₀

cos φ

,

(19.8)

а азимут направления солнечных лучей принят равным нулю.

Таким образом, задача о рассеянии света в планетной атмосфере сводится к решению уравнений (19.6) и (19.7). К этим уравнениям следует присоединить ещё граничные условия. Условие на верхней границе атмосферы (т.е. при τ=0) должно выражать тот факт, что нет диффузного излучения, падающего на атмосферу извне. Условие на нижней границе (т.е. при τ=τ₀) должно учитывать отражение излучения поверхностью планеты.

Решая приведённые уравнения, можно найти интенсивности излучения, выходящего из атмосферы. Сравнение теоретических и наблюдённых значений этих интенсивностей позволяет сделать заключения об оптических свойствах атмосферы, т.е. о величинах τ₀, λ, и 𝑥(γ).

В свою очередь по оптическим свойствам атмосферы можно судить о природе частиц, которые её составляют. Для этого используется теория рассеяния света на отдельных частицах (см., например, [4]). Эта теория, разработанная особенно подробно для шаровых частиц, определяет коэффициент поглощения α, альбедо частицы λ и индикатрису рассеяния 𝑥(γ) в зависимости от отношения радиуса частицы к длине волны излучения и от показателя преломления вещества частицы.

Заметим, что в случае рассеяния света молекулами индикатриса рассеяния определяется формулой Рэлея

𝑥(γ)

=

¾

(1+cos²γ)

.

(19.9)

Если же рассеяние света производится частицами, радиусы которых сравнимы с длиной волны излучения, то индикатриса рассеяния обычно оказывается сильно вытянутой вперёд.

2. Полубесконечная атмосфера.

Как уже сказано, атмосферы некоторых планет обладают оптической толщиной, превосходящей по порядку единицу. В этом случае при определении интенсивности излучения, диффузно отражённого атмосферой, приближённо можно считать τ₀=∞.

Сначала мы допустим, что в атмосфере происходит изотропное рассеяние света, т.е. 𝑥(γ)=1. Тогда величина 𝑆 будет функцией только от τ, а интенсивность излучения 𝐼 — функцией только от τ и θ. Поэтому уравнения (19.6) и (19.7) можно переписать в виде

μ

𝑑𝐼(τ,μ,μ₀)

𝑑τ

=

𝐼(τ,μ,μ₀)

-

𝑆(τ,μ₀)

,

(19.10)

𝑆(τ,μ₀)

=

λ

2

+1

∫

-1

𝐼(τ,μ,μ₀)

𝑑μ

+

λ

4

𝐹

exp

⎛

⎜

⎝

-

τ

μ₀

⎞

⎟

⎠

,

(19.11)

где обозначено cos θ=μ, cos θ₀=μ₀ и подчёркнута зависимость величин 𝐼 и 𝑆 от параметра μ₀.

Из уравнений (19.10) и (19.11) можно получить одно интегральное уравнение для определения функции 𝑆(τ,μ₀). Поступая так же, как при выводе уравнения (2.48), находим

𝑆(τ,μ₀)

=

λ

2

∞

∫

0

𝐸₁|τ-𝑡|

𝑆(𝑡,μ₀)

𝑑𝑡

+

λ

4

𝐹

exp

⎛

⎜

⎝

-

τ

μ₀

⎞

⎟

⎠

,

(19.12)

где 𝐸₁ — первая интегральная показательная функция.

Если функция 𝑆(τ,μ₀) известна, то может быть легко определена и интенсивность излучения, выходящего из атмосферы, т.е. величина 𝐼(0,μ,μ₀). Полагая

𝐼(0,μ,μ₀)

=

𝐹ρ(μ,μ₀)

μ₀

,

(19.13)

имеем

ρ(μ,μ₀)

=

1

𝐹

∞

∫

0

𝑆(τ,μ₀)

exp

⎛

⎜

⎝

-

τ

μ

⎞

⎟

⎠

𝑑τ

μμ₀

.

(19.14)

Величина ρ(μ,μ₀) называется коэффициентом яркости или коэффициентом отражения атмосферы.

Интегральное уравнение (19.12) относится к уравнениям типа (3.1), подробно рассмотренным в § 3. В данном случае ядро уравнения (3.1) даётся формулой (3.17), в которой 𝐴(𝑥)=λ/2𝑥, 𝑎=1, 𝑏=∞, а свободный член имеет вид

𝑔(τ)

=

λ

4

𝐹

exp

⎛

⎜

⎝

-

τ

μ₀

⎞

⎟

⎠

.

Пользуясь соотношениями (3.19) и (3.20), мы получаем для коэффициента яркости выражение

ρ(μ,μ₀)

=

λ

4

φ(μ) φ(μ₀)

μ-μ₀

,

(19.15)

в котором функция φ(μ) определяется уравнением

φ(μ)

=

1+

λ

2

μφ(μ)

1

∫

0

φ(μ')

μ+μ'

𝑑μ'

.

(19.16)

Как мы помним, функция φ(μ) уже встречалась в теории звёздных фотосфер (в § 3) и в теории образования звёздных спектров (в § 10). Теперь мы видим, что через ту же функцию выражается коэффициент яркости планетной атмосферы. Значения функции φ(μ) при разных значениях параметра λ приведены на стр. 119.

Соотношения (19.15) и (19.16) мы получили при помощи уравнения (19.12), однако В. А. Амбарцумян показал, что их можно также получить без использования этого уравнения, а именно — при помощи так называемого «принципа инвариантности». Согласно этому принципу отражательная способность полубесконечной среды не изменится, если к ней добавить некоторый слой с теми же оптическими свойствами. Добавляя к полубесконечной среде слой бесконечно малой оптической толщины, определяя все изменения в интенсивности излучения, вносимые этим слоем, и приравнивая их нулю, мы и приходим к указанным соотношениям (см. [1]).