Курс теоретической астрофизики

Полученные выше формулы для интенсивности излучения, диффузно отражённого планетной атмосферой, позволяют легко определить альбедо планеты. Сначала мы найдём так называемое плоское альбедо, т.е. альбедо планеты в данном месте при определённом угле падения солнечных лучей на плоский слой, в виде которого представляется атмосфера. Очевидно, что поток излучения, выходящего из атмосферы, равен

2π

𝐹μ₀

1

∫

0

ρ

(μ,μ₀)

μ

𝑑μ

,

а поток солнечного излучения, падающего на атмосферу, равен π𝐹μ₀. Поэтому плоское альбедо, являющееся отношением указанных потоков, равно

𝐴₁(μ₀)

=

2

1

∫

0

ρ

(μ,μ₀)

μ

𝑑μ

.

(19.64)

Для вычисления величины 𝐴₁(μ₀) подставим в формулу (19.64) выражение (19.59). Учитывая при этом формулы (19.58) и (19.61), получаем

𝐴₁(μ₀)

=

𝑁(μ₀)

+

+

𝐴

1-𝐴𝐶

⎡

⎣

(2-λα₀)

β₁

+

λ

β₀

α₁

⎤

⎦

𝑀(μ₀)

,

(19.65)

где, как и раньше, 𝐴 — альбедо поверхности планеты, а α₁ и β₁ — первые моменты функций φ(μ) и ψ(μ). Как видно из формул (19.56), (19.58) и (19.62), величина 𝐶 равна

𝐶

=

1-

(2-λα₀)

α₁

-

λ

β₀

β₁

.

(19.66)

Отметим, что входящие в приведённые формулы величины α₀ и β₀ связаны между собой простым соотношением. Чтобы получить его, проинтегрируем уравнение (19.41) по μ в пределах от нуля до 1. В результате находим

α₀

=

1+

λ

2

1

∫

0

μ

𝑑μ

1

∫

0

φ(μ)φ(μ')-ψ(μ)ψ(μ')

μ+μ'

𝑑μ'

,

(19.67)

или, после замены

μ

μ+μ'

=

1-

μ'

μ+μ'

,

α₀

=

1+

λ

2

(α₀²+β₀²)

-

-

λ

2

1

∫

0

𝑑μ

1

∫

0

φ(μ)φ(μ')-ψ(μ)ψ(μ')

μ+μ'

μ'

𝑑μ'

.

(19.68)

Из двух последних формул и вытекает искомое соотношение:

α₀

=

1+

λ

4

(α₀²+β₀²)

.

(19.69)

Рассмотрим два частных случая формулы (19.65), определяющей плоское альбедо.

1. Допустим, что оптическая толщина атмосферы бесконечно велика (τ₀=∞). В этом случае функция φ(μ) определяется уравнением (19.16), а ψ(μ)=0. Поэтому формула (19.65) принимает вид

𝐴₁(μ₀)

=

1-

⎛

⎜

⎝

1-

λ

2

α₀

⎞

⎟

⎠

φ(μ₀)

.

(19.70)

Но из соотношения (19.69) в данном случае (т.е. при β₀) находим

α₀

=

λ

2

⎛

⎝

1-

√

1-λ

⎞

⎠

.

(19.71)

Следовательно, вместо (19.70) имеем

𝐴₁(μ₀)

=

1-

φ(μ₀)

√

1-λ

.

(19.72)

2. Будем считать, что в атмосфере происходит чистое рассеяние излучения, т.е. λ=1. В указанном случае, как следует из (19.69),

α₀

=

2-

β₀

,

(19.73)

поэтому

𝐶

=

1-

β₀

(α₁+β₁)

.

(19.74)

Легко видеть, что формулу (19.65) можно теперь переписать в виде

𝐴₁(μ₀)

=

1-

β₀

2

⎡

⎣

φ(μ₀)

+

ψ(μ₀)

⎤

⎦

1-𝐴

1-𝐴𝐶

.

(19.75)

При изучении планет, кроме плоского альбедо, употребляют ещё так называемое сферическое альбедо, представляющее собой отношение энергии, отражённой всей планетой, к энергии, падающей на планету от Солнца. Если плоское альбедо известно, то легко найти и сферическое альбедо.

Рис. 25

Обозначим радиус планеты через 𝑅 (рис. 25). Тогда энергия, падающая на планету от Солнца, будет равна π𝑅² π𝐹. С другой стороны, обозначая через 𝑟 расстояние данной точки на диске планеты от центра диска, находим, что энергия, отражённая планетой, будет равна

2π

𝑅

∫

0

𝐴₁(μ₀)

π𝐹𝑟

𝑑𝑟

.

Так как 𝑟 𝑑𝑟=𝑅²μ₀ 𝑑μ₀, то последнее выражение можно переписать в виде

2π

𝑅²

π𝐹

1

∫

0

𝐴₁(μ₀)

μ₀

𝑑μ₀

.

Поэтому, обозначая сферическое альбедо через 𝐴_∗, получаем

𝐴

_∗

=

2

1

∫

0

𝐴₁(μ₀)

μ₀

𝑑μ₀

.

(19.76)

Подставляя (19.65) в (19.76), находим

𝐴

_∗

=

𝐶

+

𝐴

1-𝐴𝐶

⎡

⎣

(2-λα₀)

β₁

+

λβ₀

α₁

⎤²

⎦

,

(19.77)

где 𝐶 определяется формулой (19.66).

Применим полученную формулу для сферического альбедо к двум рассмотренным выше случаям. В первом из этих случаев (т.е. при τ₀=∞) имеем

𝐴

_∗

=

1-2

α₁√

1-λ

,

(19.78)

а во втором (т.е. при τ₀=1)

𝐴

_∗

=

1-

(1-𝐴)(1-𝐶)

1-𝐴𝐶

.

(19.79)

Для вычисления величин 𝐴₁(μ₀) и 𝐴_∗ надо иметь таблицы функций φ(μ) и ψ(μ) и их нулевых и первых моментов. Такие таблицы содержатся в ряде работ (см. [3]).

Таблица 24

Сферическое альбедо 𝐴_∗

𝐴

τ₀

0

0,1

0,2

0,3

0,5

1,0

2,0

3,0

∞

0

0,00

0,08

0,15

0,21

0,30

0,45

0,61

0,70

1,00

0,1

0,10

0,17

0,22

0,27

0,35

0,48

0,63

0,71

1,00

0,2

0,20

0,26

0,30

0,34

0,40

0,51

0,65

0,72

1,00

0,3

0,30

0,34

0,38

0,41

0,46

0,55

0,67

0,73

1,00

0,4

0,40

0,43

0,46

0,48

0,52

0,60

0,69

0,75

1,00

0,5

0,50

0,52

0,54

0,56

0,59

0,64

0,72

0,77

1,00

0,6

0,60

0,61

0,63

0,64

0,66

0,70

0,75

0,79

1,00

0,7

0,70

0,71

0,72

0,72

0,73

0,76

0,80

0,82

1,00

0,8

0,80

0,80

0,81

0,81

0,82

0,83

0,85

0,86

1,00

0,9

0,90

0,90

0,90

0,90

0,90

0,91

0,92

0,92

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

В таблице 24 приведены значения сферического альбедо, найденные по формуле (19.79), т.е. для того случая, когда в атмосфере оптической толщины τ₀ происходит чистое рассеяние света и атмосфера ограничена поверхностью с альбедо 𝐴.

§ 20. Оптические свойства планетных атмосфер

1. Атмосфера Венеры.

С помощью теории рассеяния света можно истолковать результаты фотометрических наблюдений планет. При этом путём сравнения теории с наблюдениями могут быть определены оптические свойства планетных атмосфер. Сначала мы сделаем это для случая атмосферы Венеры [3].