Курс теоретической астрофизики

Так как через атмосферу Венеры не видна поверхность планеты, то приближённо считается, что оптическая толщина атмосферы бесконечно велика (τ₀). Для определения других величин, характеризующих оптические свойства атмосферы (в частности, индикатрисы рассеяния 𝑥(γ) и параметра λ), следует использовать наблюдаемое распределение яркости по диску планеты при разных углах фазы. Для Венеры могут быть получены особенно обширные наблюдательные данные, так как в этом случае угол фазы (т.е. угол при планете между направлениями на Солнце и Землю) принимает все возможные значения — от 0° до 180° Заключения об оптических свойствах атмосферы Венеры можно сделать и на основании кривой изменения блеска планеты с углом фазы, чем мы сейчас и займёмся.

Рис. 26

Найдём теоретическую зависимость между звёздной величиной планеты 𝑚 и углом фазы α. Обозначим через μ₀ косинус угла падения солнечных лучей в данном месте планеты, через μ — косинус угла отражения и через φ — разность азимутов падающего и отражённого лучей. Введём планетоцентрические координаты ω и ψ (рис. 26). Очевидно, величины μ₀, μ, φ связаны с ω, ψ и α формулами

μ₀

=

cos

ψ

cos

(α-ω)

,

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

μ

=

cos

ψ

cos

ω

,

cos

α

=

μ₀

μ

-

√

(1-μ²)(1-μ₀²)

cos

φ

.

(20.1)

Пусть 𝑛𝐹 — освещённость площадки, перпендикулярной к лучам Солнца на верхней границе атмосферы планеты и ρ(μ,μ₀,φ) — коэффициент яркости атмосферы. Тогда интенсивность излучения, диффузно отражённого атмосферой, будет равна 𝐹ρ(μ,μ₀,φ)μ₀, а количество энергии, идущее от элемента площади 𝑑σ в единице телесного угла будет 𝐹ρ(μ,μ₀,φ)μμ₀ 𝑑σ. Так как 𝑑σ=𝑅²cos ψ 𝑑ψ 𝑑ω где 𝑅 — радиус планеты, то это количество энергии может быть записано в виде

𝐹𝑅²

ρ(μ,μ₀,φ)

cos(α-ω)

cos

ω

cos³ψ

𝑑ψ

𝑑ω

.

Чтобы получить полное количество энергии, идущее от Венеры в направлении Земли в единице телесного угла, надо проинтегрировать последнее выражение по ψ в пределах от -π/2 до +π/2 и по ω в пределах от α -π/2 до +π/2, т.е. от терминатора до края диска. Обозначая через Δ расстояние от Венеры до Земли, для освещённости Земли от Венеры находим

𝐸

_𝑉

=

2𝐹

𝑅²

Δ²

π/2

∫

α-π/2

cos(α-ω)

cos

ω

𝑑ω

×

×

π/2

∫

0

ρ(μ,μ₀,φ)

cos³ψ

𝑑ψ

.

(20.2)

Очевидно, что освещённость Земли от Солнца равна 𝐸_𝑇=π𝐹(𝑟₁/𝑟₂)², где 𝑟₁ — расстояние от Солнца до Венеры и 𝑟₁ — расстояние от Солнца до Земли, а 𝐸_𝑉/𝐸_𝑇=2,512^𝑚_☉-𝑚, где 𝑚_☉ — звёздная величина Солнца. Поэтому получаем

2,512

^{𝑚_☉-𝑚}

=

2

π

⎛

⎜

⎝

𝑟₁𝑅

𝑟₁Δ

⎞²

⎟

⎠

π/2

∫

α-π/2

cos(α-ω)

cos

ω

𝑑ω

=

=

π/2

∫

0

ρ(μ,μ₀,φ)

cos³ψ

𝑑ψ

.

(20.3)

Соотношение (20.3) даёт искомую теоретическую зависимость 𝑚 от α, т.е. позволяет построить теоретическую кривую блеска планеты. В соотношение (20.3) надо подставить выражение для ρ(μ,μ₀,φ) и воспользоваться формулами (20.1). Так как коэффициент яркости ρ(μ,μ₀,φ) зависит от величин 𝑥(γ) и λ, то, сравнивая между собой теоретическую и наблюдённую кривые блеска, можно определить указанные величины. При этом следует также принять во внимание соотношение

1

2

π

∫

0

𝑥(γ)

sin

γ

𝑑γ

=

1,

(20.4)

выражающее собой условие нормировки индикатрисы рассеяния.

При определении теоретической кривой блеска удобно в выражении для ρ(μ,μ₀,φ) выделить член, учитывающий рассеяние первого порядка. В таком случае имеем

ρ(μ,μ₀,φ)

=

λ

4

𝑥(γ)

μ+μ₀

+

Δ

ρ(μ,μ₀,φ)

,

(20.5)

где γ=π-α и Δρ — член, учитывающий рассеяния высших порядков. Так как точное выражение для величины Δρ при произвольной индикатрисе рассеяния очень сложное, то мы определим эту величину приближённо, сохраняя в разложении индикатрисы рассеяния по полиномам Лежандра только два первых члена. Иными словами, величину Δρ найдём не для действительной индикатрисы рассеяния 𝑥(γ), а для индикатрисы рассеяния

𝑥(γ)

=

1

+

𝑥₁

cos

γ

,

(20.6)

где

𝑥₁

=

3

2

π

∫

0

𝑥(γ)

cos

γ

sin

γ

𝑑γ

.

(20.7)

Как было показано ранее, коэффициент яркости ρ(μ,μ₀,φ) при индикатрисе рассеяния вида (20.6) даётся формулами (19.18) — (19.20). Пользуясь ими, находим

Δ

ρ

=

λ

4

φ₀⁰(μ)φ₀⁰(μ₀)-𝑥₁φ₁⁰(μ)φ₁⁰(μ₀)-1

μ+μ₀

+

+

λ𝑥₁

4

φ₁¹(μ)φ₁¹(μ₀)cos φ+cos α

μ+μ₀

,

(20.8)

где вспомогательные функции φ₀⁰(μ), φ₁⁰(μ) и φ₁¹(μ) определяются уравнениями (19.21) — (19.23). Как уже говорилось, эти функции табулированы. Заметим также, что при малой роли истинного поглощения в атмосфере (т.е. при значениях λ, близких к 1), из уравнений (19.21) и (19.22) могут быть получены следующие асимптотические формулы:

φ₀⁰(μ)

=

φ(μ)

⎛

⎜

⎝

1-3

⎧

⎪

⎩

1-λ

3-𝑥₁

⎫½

⎪

⎭

μ

⎞

⎟

⎠

,

(20.9)

φ₁⁰(μ)

=

φ(μ)

μ

⎧

⎪

⎩

3(1-λ)

3-𝑥₁

⎫½

⎪

⎭

,

(20.10)

где φ(μ) — функция, определяемая уравнением (19.16) при λ=1. Формулами (20.9) и (20.10) можно воспользоваться в случае Венеры, так как альбедо этой планеты весьма велико (порядка 0,7), а следовательно, величина 1-λ очень мала. При сферической индикатрисе рассеяния это видно из формулы (19.78), а при вытянутой вперёд индикатрисе рассеяния величина 1-λ будет ещё меньше.

Подставим теперь выражение (20.5) в соотношение (20.3). Результат этой подстановки можно записать в виде

𝑥(π-α)

ƒ(α)

+

𝑔(α)

=

ℎ(α)

,

(20.11)

где введены обозначения

ƒ(α)

=

1

4

π/2

∫

α-π/2

cos ω cos(α-ω)

cos ω+cos(α-ω)

𝑑ω

×

×

π/2

∫

0

cos²ψ

𝑑ψ

=

=

π

16

⎛

⎜

⎝

1-

sin

α

2

tg

α

2

ln ctg

α

4

⎞

⎟

⎠

,

(20.12)

𝑔(α)

=

π/2

∫

α-π/2

cos

ω

cos(α-ω)

𝑑ω

×

×

π/2

∫

0

Δ

ρ

cos³ψ

𝑑ψ

,

(20.13)

ℎ(α)

=

π

2

⎛

⎜

⎝

𝑟₁𝑅

𝑟₁Δ

⎞²

⎟

⎠

2,512

^{𝑚_☉-𝑚}

.

(20.14)