Квантовая магия

Когда речь заходит о количественном описании квантовой запутанности, на первый план выходит понятие матрицы плотности. Первой была введена мера квантовой запутанности для самого простого случая — системы в чистом состоянии [типа (3.1)], то есть мера запутанности между двухуровневыми подсистемами и B, когда вся система замкнута (находится в чистом состоянии). Основывается эта мера на понятии частичной матрицы плотности и выражается в терминах энтропии фон Неймана:

) = — [ log ₂( _A)]. (3.6)

Здесь — частичная (редуцированная) матрица плотности подсистемы А. Получается она взятием частичного следа [80]по B. С физической точки зрения, взятие частичного следа и получение редуцированной матрицы плотности — это усреднение по всем внешним степеням свободы выделенной подсистемы (по ее внешнему окружению). В некотором отношении это проведение границы между подсистемой и ее окружением, когда подсистема может рассматриваться независимо от него. Мы как бы «вырезаем» нашу подсистему из более сложной структуры и рассматриваем ее в качестве самостоятельного объекта. В результате этой операции пространство допустимых состояний подсистемы уменьшается, частичная матрица плотности имеет меньшую размерность, чем исходная система, например, из матрицы 4 x 4 получается матрица 2 x 2, как было показано выше, когда из матрицы (3.3) получалась (3.5).

(Charles H.

Затем ввел количественную характеристику запутанности двусоставной системы — не только для чистого, но и для смешанного состояния. Называется она concurrence(согласованность, гармония) [83]. Она была введена достаточно сложно, с использованием « » преобразования.

Впоследствии было найдено [84]более удобное и общее выражение для вычисления согласованности уже в многосоставных системах:

C= {2[1– _A ²)]} ^1/2.

Оно справедливо для произвольных замкнутых систем и характеризует меру квантовой запутанности подсистемы (любой размерности) со всем ее окружением (также любой размерности).

Согласованность в качестве меры квантовой запутанности использовалась в широко известном эксперименте по макроскопической запутанности [85].

В целом, наличие квантовой запутанности в макроскопических системах трудно подвергнуть сомнению, поскольку есть «железное» утверждение (принцип несепарабельности) — если системы взаимодействуют друг с другом, то они квантово запутаны между собой (связаны нелокальными квантовыми корреляциями). Наличие любого взаимодействия — достаточное условие для квантовой запутанности (несепарабельности) взаимодействующих объектов. Но одно дело — это понимать и декларировать, а другое — уметь количественно описывать эту запутанность и сопоставлять адекватность теоретического описания с результатами физических экспериментов.

Были предложены и другие меры квантовой запутанности, постоянно ведется поиск наиболее в практическом применении. Из них наиболее известны следующие.

1. , или PPT (positive partial transpose) критерий сепарабельности:

Phys. Rev. . M., P. and R.Phys. A 223, 1 (1996).

2. Основанная на PPT-критерии мера запутанности — отрицательность(negativity):

P., A. and M.Phys. Rev. A 58, 883 (1998); Vidal G. and Werner R. F.Phys. Rev. A 65, 032314 (2002).

3.  Относительная энтропия запутанности(relative entropy of entanglement):

M. B., Jacobs K. and Knight P. L.Phys. Rev. A 56, 4452 (1997).

4. CCN (computable cross-norm) критерий:

5. Мера, основанная на ранге Шмидта:

H. J.Phys. Rev. A 64, 022306 (2001).

6. Мера запутанности, основанная на метрике гильбертова пространства (расстоянии Гильберта-Шмидта), эту меру можно рассматривать как информационное расстояние между двумя состояниями:

Lee J., Kim M. S., .Phys. Rev. . 91, 087902 (2003) и некоторые другие.