Квантовая магия

Информация в терминах энтропии фон Неймана позволяет описывать запутанные состояния. Одна из основных особенностей этого понятия состоит в том, что об объекте, находящемся в чистом запутанном состоянии (= ρ²), невозможно получить никакой информации, поскольку в этом случае из (3.6) следует E(ρ) = 0. Энтропия фон Неймана и квантовая запутанность может быть отлична от нуля только для подсистем, которые взаимодействуют со своим окружением, и поэтому находятся в состоянии.

Довольно часто для простоты количество квантовой информации определяется просто как число кубитов в системе.

Исходная величина (ρ²) сейчас тоже широко используется в физике квантовой информации, но уже не в качестве меры информации, а как характеристика степени чистоты состояния (purity), которая показывает, насколько близко данное состояние к , для последнего (ρ²) = 1.

3.5. и сфера Блоха

в нашей книге отведена исключительно важная роль, поэтому вернемся к нему еще раз — теперь уже с привлечением матрицы плотности, которая помогает глубже понять, что такое , и более подробно его описывает.

Пространство двух состояний, когда система может переходить из одного состояния в другое (двухуровневая система), является простейшим гильбертовым пространством. Когда система имеет одно состояние, и оно не меняется, то вообще не имеет смысла говорить о применении методов квантовой теории к такой системе и об описании ее в терминах состояний.

Если базисные векторы такого элементарного двухмерного пространства состояний обозначить[93] |0ñи |1ñ, то в самом общем виде вектор состояния двухуровневой системы может быть записан в виде:

|Ψñ = a|0ñ + b|1ñ, (3.9)

где а и b — комплексные числа (амплитуды), удовлетворяющие условию |а|² + |b|² = 1.

Тогда, исходя из основных понятий квантовой механики, определение кубита звучит достаточно просто: —это вектор состояния двухуровневой системы.

Таким образом, — это минимально возможный (элементарный) вектор состояния. Любой вектор состояния может быть представлен как совокупность таких элементарных векторов, поэтому — первооснова, исходный «кирпичик» для всех других векторов состояния любой размерности.

Подобно тому, как за единицу классической информации принимается бит (0 и 1), так в физике квантовой информации определяется как единица квантовой информации.

Одним из сложных для восприятия квантовой механики моментов является отсутствие наглядных представлений, когда приходится иметь дело с векторами состояний и матрицами плотности. Как можно сопоставить вектор гильбертова пространства с привычными для нас трехмерными объектами? Один из наиболее простых вариантов такого сопоставления хорошо известен. Это так называемая сфера Блоха. Попытаемся разобраться, что она собой представляет.

В простейшем случае для системы, которая может находиться в двух состояниях (например, «вверх» и «вниз»), матрица плотности имеет размер 2 × 2 и для чистого состояния (она имеет вид:

. (3.10)

Существует и более общее выражение для матрицы плотности кубита, не только для того случая, когда он находится в чистом состоянии, как (3.10), но и для смешанного состояния, когда взаимодействует со своим внешним окружением:

, (3.11)

где — единичная матрица,  = (P_x, P_y, P_z) — вектор Блоха (вектор поляризации), а  = (, , ) — вектор, компонентами которого являются матрицы Паули:

. (3.12)

Компоненты вектора Блоха определяются как средние значения матриц Паули по обычному правилу (3.8) P_j ≡ <> = (); j = x, y, z.

Три проекции вектора поляризации P_x, P_y, P_z, согласно (3.11), полностью определяют матрицу плотности кубита. В случае чистого состояния длина вектора поляризации равна 1, то есть , и этот вектор описывает сферу единичного радиуса, которая называется сферой Блоха (рис. 1). В этом случае компоненты вектора Блоха равны:

P_x = ,

= ,

= ,

и два вещественных параметра (углы θ и φ) однозначно задают вектор состояния (матрицу плотности) кубита.

В случае смешанного состояния длина вектора поляризации становится меньше единицы, то есть , и он будет расположен внутри сферы.

Итак, матрица плотности кубита может быть представлена точкой в нашем привычном трехмерном пространстве. То есть существует взаимно однозначное соответствие между матрицей плотности и точкой шара единичного радиуса. Для чистого состояния (замкнутой системы) — это точка сферы.

Рис. 1. Сфера Блоха