Квантовая механика и интегралы по траекториям

Существует много важных явлений статистического характера, для описания которых классическое приближение становится неприменимым. Трудности, вызываемые большим числом аргументов интеграции, усугубляются здесь ещё и сложностью квантовомеханических понятий.

Строго говоря, выражение (10.48) открывает для нас несколько больше возможностей по сравнению с классической статистикой. Доказательством этому служит появление постоянной h в коэффициенте перед интегралом. В классической механике функцию распределения можно было получить лишь с точностью до постоянного множителя; поэтому и логарифм её определялся только с точностью до произвольной аддитивной константы. Поэтому в выражении для свободной энергии появлялся член, пропорциональный температуре, а в энтропии — аддитивная константа, называемая иногда химическим потенциалом. Её удалось вычислить лишь после того, как появилась квантовая механика.

§ 3. Квантовомеханические эффекты

Как мы уже упоминали, существуют случаи, когда классическое приближение не является достаточно точным. При этом необходимо учитывать изменение потенциала, возникающее в результате движения частицы вдоль «траектории». В этом параграфе мы рассмотрим подобные влияния в первом приближении теории возмущений.

Вместо того, чтобы в выражении для матрицы плотности (10.43) заменять потенциал постоянной величиной V(x₁), можно было бы попробовать разложить его в ряд Тейлора в точке x₁. Однако проще и точнее было бы проделать это разложение в окрестности средней точки траектории, определяемой равенством

x

=

1

h

_h

⁰

x(u)

du

,

(10.50)

которая существует для каждой траектории. По этим средним точкам можно интегрировать точно так же, как это делалось в выражении (10.48) по начальным точкам x₁. При этом функция распределения принимает вид

Z

=

d

x

_x1

^x₁

exp

-

1

h

m

2

_h

⁰

x^2

du

+

_h

⁰

V[x(u)]

du

Dx(u)

.

(10.51)

Здесь для интеграции выбраны траектории, удовлетворяющие двум условиям: 1) x, определяемое равенством (10.50), фиксировано и 2) начала и концы траекторий совпадают (это означает, что интеграл включает также и интегрирование по всем точкам x₁).

Разлагая потенциал V(x) в ряд Тейлора в точке x, получаем

_h

⁰

V[x(u)]

du

=

h

V(

x

)

+

_h

⁰

[x(u)-

x

]

V'(

x

)

du

+

+

1

2

[x(u)-

x

]^2

V''(

x

)

du

.

(10.52)

В силу равенства (10.50) второй член в правой части обращается в нуль. Таким образом, мы пришли к выражению, в котором первая отличная от нуля поправка будет поправкой второго порядка. Применяя это разложение и отбрасывая все старшие члены (третьего и высших порядков), получаем для функции распределения

Z

e

^-V(x)

d

x

_x1

^x₁

exp

-

_h

⁰

m

2

x^2

+

+

[x(u)-

x

]^2

V''(

x

)

du

h

Dx(u)

.

(10.53)

Интеграл по тракториям в этом выражении отличается от предыдущих тем, что на траектории интегрирования наложено ограничение, выражаемое равенством (10.50). Для дальнейшего перепишем это равенство в виде

_h

⁰

(x-

x

)

du

=0

.

Подставляя в качестве координаты траектории y=x-x, запишем это так:

_h

⁰

y

du

=0

.

а сам интеграл преобразуем к виду

_x1-x

^x₁-x

exp

-

_h

⁰

m

2

y^2

+

1

2

y^2

V''(0)

du

h

Dy(u)

.

(10.54)

Подынтегральная функция в этом выражении та же, что и в случае гармонического осциллятора, если его частота определяется соотношением ^2=V''(0)/m.

Теперь применим к этому интегралу ограничение на траектории следующим образом. Умножаем весь интеграл по траекториям на -функции

_h

⁰

ydu

.

Для того чтобы оперировать с -функцией под знаком интеграла, произведём над ней преобразование Фурье

(x)

=

^-

[exp(ikx)]

dk

2

и запишем

^-

dk

2

_x1-x

^x₁-x

exp

-

1

h

_h

⁰

m

2

y^2

+

1

2

V''

y^2

+

iky

du

Dy(u)

.

(10.55)

Интеграл, представленный в такой форме, уже содержит в себе ограничения, накладываемые равенством (10.50), и мы можем прямо перейти к стандартным методам его вычисления, чтобы получить искомое решение. Отметим, что наш интеграл имеет тот же самый вид, что и в случае гармонического осциллятора, если m и V'' считать мнимыми. Мы интересуемся лишь случаем малых V'' и в любой момент можем перейти к приближению, содержащему лишь члены первого порядка.

Задача 10.2. Вычислите интеграл (10.55), воспользовавшись методами гл. 3 и, в частности, соотношением (3.66). Напомним, что все траектории в этой задаче имеют одинаковые начальные и конечные точки и для завершения вычисления интеграла необходимо проинтегрировать по всем этим точкам, а затем по всем значениям k, после чего решение с точностью до первого порядка по V'' имеет вид

const

1-

^2h^2

24m

V''

(

x

)

.

(10.56)

Функцию распределения, которая соответствует решению задачи 10.2, лучше всего записать так (тоже с точностью до членов первого порядка по V''):

Z

=

mkT

2h^2

1/2

exp

-

V(

x

)

+

h^2

24m

V''(

x

)

d

x

.

(10.57)

Неизвестная константа определяется здесь простым сравнением с результатом классического рассмотрения (10.48). Мы видим, что функция распределения имеет тот же самый вид, что и функция, вычисленная в чисто классических предположениях. Разница состоит лишь в том, что теперь к потенциалу добавлена поправка (h^2/24m)V''(x), которая по своей природе является, очевидно, квантовомеханической, как это можно понять из появления в ней постоянной Планка h.