Квантовая механика и интегралы по траекториям

Эти результаты означают, что свободную энергию F' можно приближённо вычислять классическим методом, т.е. с помощью выражения, подобного (10.48), и при этом получить хорошее приближение, если вместо V(x) использовать эффективный потенциал U(x), определяемый соотношением (10.68). Отметим, кстати, что эффективный потенциал зависит от температуры.

Потенциал U(x) представляет собой среднее значение потенциала V(x), полученное путём усреднения вокруг точки x с гауссовой весовой функцией, среднеквадратичное отклонение которой составляет (h^2/12m) ^1/2 . Если проанализировать различные неравенства, содержащиеся в нашем приближении, то мы найдём, что приближённое значение свободной энергии F' превышает её истинное значение F. Подробности этого обсуждаются в следующей главе [см. неравенство (11.9) и далее].

Задача 10.6. Покажите, что потенциал, определяемый соотношением (10.68), совпадает с «исправленным» потенциалом равенства (10.57) (т.е. с показателем экспоненты в этом равенстве), если в этом последнем разложить V в ряд Тейлора.

Задача 10.7. Проверьте справедливость нашего приближения на примере гармонического осциллятора, точное значение свободной энергии которого равно

F

_точное

=

kT

 ln

2sh

h

2kT

.

(10.69)

С помощью эффективного потенциала U вычислите приближённое значение свободной энергии; покажите, что

U

=

m^2

2

x^2

+

h

12m

(10.70)

и

F

_прибл

=

kT

ln

h

kT

+

(h)^2

24kT

.

(10.71)

При различных значениях частоты определите свободную энергию или, ещё лучше, её отношение к величине kT. Предполагается, что дробь h/kT может, в частности, принимать значения 1, 2 и 4. Покажите, что, как и следовало ожидать, F' больше F и ошибка возрастает при уменьшении температуры. Обратите внимание, что даже если мы уходим очень далеко от классической области (т.е. когда отношение h/kT=2, так что вероятность пребывания системы в основном состоянии составляет 85%), приближённые результаты все ещё удивительно близки к истинным.

Сравните эти результаты с классическим приближением, где свободная энергия принимается равной kT ln(h/kT). Оно приводит к значениям 2F/h, что видно из табл. 1.

Таблица 1

h/kT

1

2

4

Точное значение

0,08266

0,8546

0,9906

Наше приближение

0,08333

0,8598

1,0264

Классический предел

0,00000

0,6931

0,6931

§ 4 Системы с несколькими переменными

Если система зависит от нескольких переменных, то (за исключением специальных задач, связанных с рассмотрением свойств симметрии) формулы, описывающие её поведение, получаются прямым обобщением уже изученных нами методов.

Жидкий гелий. В качестве примера рассмотрим задачу отыскания функции распределения в случае жидкого гелия. Предположим, что мы имеем N одинаковых атомов массы m, заключённых в некоторый объём. Предположим далее, что эти атомы взаимодействуют попарно; потенциал этого взаимодействия V(r_1,2) на больших расстояниях соответствует слабому притяжению, а на малых— очень сильному отталкиванию. Для наглядности можно представлять себе V(r) как потенциал, описывающий столкновение твёрдых шариков, т.е. положить

V(r)

=

0 при r2,7A,

при r2,7A.

(10.72)

Лагранжиан такой системы имеет вид

L

=

 

ⁱ

1

2

m

|R|^2

-

1

2

 

^i,j

V(r

_i,j

)

,

(10.73)

откуда следует, что функция распределения

Z

=

d

^N

R(0)

exp

-

m

2h

_h

⁰

|R(t)|^2

dt

+

+

1

2h

 

^i,j

_h

⁰

V[R

_i

(t)-R

_j

(t)]

dt

D

^N

R(t)

.

(10.74)

В этом выражении символ d^NR означает произведение d^3R₁d^3R₂d^3R₃ … d^3R_N, аналогично D^NR — произведению DR₁DR₂DR₃ … DR_N. Мы предполагаем, что все интегралы по тракториям берутся между совпадающими начальными и конечными точками R_i(0) и R_i, т.е. R_i(0)=R_i.

На самом деле записанное нами выражение (10.74) неправильно, так как свойства симметрии, упомянутые выше, имеют существенное значение. Здесь мы столкнулись с одной из интересных особенностей квантовой механики тождественных частиц. В гл. 1 упоминалось, что если событие протекает двумя неразличимыми способами, то амплитуды вероятности этих двух возможностей будут складываться. В частности, когда мы имеем дело с двумя неразличимыми частицами, любое событие всегда можно осуществить двумя способами, поменяв эти частицы ролями. При этом амплитуды, соответствующие случаю переставленных и случаю не переставленных частиц, должны складываться. Это правило относится к бозонам; в случае фермионов вклады в амплитуду, возникающие при нечётных перестановках, будут взаимно уничтожаться. Атомы обычного гелия, представляющего собой изотоп с массовым числом 4, содержат шесть частиц: два протона, два нейтрона и два электрона. Это означает, что атомы гелия являются бозонами и при перестановке частиц амплитуды должны складываться. Принято говорить, что бозоны подчиняются симметричной статистике, а фермионы — антисимметричной.

Для того чтобы увидеть, как происходит это сложение амплитуд, по крайней мере в случае атомов гелия, можно рассуждать следующим образом. В конечном состоянии атомы неотличимы друг от друга, поэтому, если даже конечная конфигурация совпадает с начальной, некоторые атомы могли поменяться местами.