Квантовая механика и интегралы по траекториям

симметрична,

0,

если

_n

имеет какие-то

другие свойства симметрии.

(10.82)

Этот результат и отвечает на наш вопрос. Теперь из суммы, определяющей матрицу плотности, нужно отобрать только те члены, которые относятся к симметричным состояниям. Таким образом,

 

^P

(Px',x)

=

_все

ⁿ

 

^P

_n

(Px')

*

n

(x)

e

^-E_n

=

=

N!

_сим

ⁿ

_n

(x')

_n

(x)

e

^-E_n

=

N!

(x',x)

.

(10.83)

Именно поэтому мы, определяя функцию распределения в случае симметричной статистики, в выражении (10.77) переставляем частицы и делим результат на N!. Получаемая при этом функция распределения удовлетворяет соотношениям

(x

₀

,x

₀

)

d

^N

x

₀

=

Z

_сим

=

_сим

ⁿ

e

^-E_n

.

(10.84)

Отметим некоторые характерные особенности соотношения (10.77). Для функции распределения мы должны были бы ожидать при высоких температурах классического решения, в котором отсутствовали бы квантовые эффекты. Пренебрежём на время потенциалом и рассмотрим влияние смещения атома в некоторую точку, отстоящую от исходной на расстояние d. В интеграле по траекториям (10.77) это соответствует смещению из начальной точки R_i в положение PR_i, отличающееся перестановкой атомов. Вклад каждой такой перестановки в общую сумму пропорционален exp(-md^2kT/2h^2), т.е. уменьшается при увеличении температуры или при увеличении расстояния между атомами. Следовательно, пока атомы не находятся чрезвычайно близко друг к другу, никакие перестановки (даже простейший обмен местами между двумя атомами) несущественны по сравнению с тождественной перестановкой, которая оставляет все атомы на их прежних местах. Если же теперь учесть эффекты, связанные с потенциалом, который в жидком гелии резко возрастает на расстоянии 2,7 A от центра атома, то несущественными оказываются все конфигурации, в которых межатомное расстояние меньше этой величины.

Поскольку при суммировании существенный вклад даёт лишь тождественная перестановка, нам остаётся для рассмотрения только множитель 1/N!. Уже на раннем этапе классической термодинамики физики отдавали себе отчёт в том, что такой множитель удобен, когда частицы одинаковы, однако его смысл оставался неясным. Когда изучаются системы с несколькими различными сортами атомов, влияние этого множителя на величину химического потенциала называется энтропией смешения.

По мере падения температуры экспоненциальный множитель exp(-md^2kT/2h^2), препятствующий переходам в новые конечные положения, становится все меньше и меньше. Это означает, что при чрезвычайно низких температурах в суммировании по перестановкам станут существенными новые члены. В этом случае должны быть, конечно, учтены квантовые эффекты; мы видели, что в первом приближении это можно сделать заменой потенциала V на эффективный потенциал U. С падением температуры начиная примерно с 2,4—2,3°K, теплоёмкость жидкого гелия начинает медленно возрастать.

Задача 10.8. Плотность жидкого гелия равна 0,17 г/см^3. Оцените по порядку величины температуру, начиная с которой для описания жидкого гелия становятся существенными перестановочные члены.

На первый взгляд представляется неожиданным, что очень сложные перестановки атомов играют существенную роль. Всякий раз, когда какой-нибудь атом перемещается на соседний участок, возникает экспоненциальный множитель, содержащий соответствующее расстояние. Обозначим этот множитель через y; тогда в случае перехода на соседние участки r атомов необходимо учитывать множитель y_r, а поскольку y при любой температуре наверняка меньше единицы, то y_r в случае больших r может стать весьма малым. Казалось бы, что если г составляет заметную долю от полного числа атомов (в кубическом сантиметре жидкого гелия содержится 10²² атомов), то вклад от множителей вида y_r должен быть исчезающе малым. Однако это первое впечатление не учитывает того обстоятельства, что при этом возникает огромное число (r!) возможных перестановок. Поэтому малость влияния отдельной перестановки компенсируется их количеством.