Квантовая механика и интегралы по траекториям

Задача 10.3. Покажите, что поправка к потенциалу в случае трёхмерного движения нескольких частиц (которые мы будем различать по индексам; m_i — масса i-й частицы) равна

h^2

24m

 

ⁱ

1

m_i

2

i

V.

(10.58)

На практике результаты этого вычисления оказываются не очень полезными. В большинстве задач (например, при рассмотрении газа сталкивающихся молекул) потенциал растёт довольно быстро, так что на малых расстояниях происходит сильное отталкивание и вторая производная очень велика. В тех случаях, когда это не так, полученная формула может оказаться полезной. Её преимущество состоит в том, что она допускает обобщение на члены более высокой степени точности.

Задача 10.4. Покажите, что поправка к функции распределения, учитывающая четвёртую степень h, содержит множитель

1-

^2h^2

24m

V''

(

x

)

+

7⁴h⁴

8x720m^2

[V''(

x

)]^2

-

^3h^3

24x48m^2

V''''

(

x

)

+

…

.

Мы уже видели, что для описания квантовомеханических аффектов можно вычислить функцию распределения по классической формуле (10.48), подставив вместо истинного потенциала V(x) модифицированное выражение V+(h^2/24m)V''. Это обстоятельство наводит на мысль попытаться пойти дальше и отыскать некоторый эффективный потенциал U(x), после подстановки которого вместо потенциала V классическое выражение (10.48) стало бы ещё более точным приближением к истинной квантовомеханической функции распределения. Будем исходить из точного выражения

Z

=

{

exp[-V(

x

)]

d

x

}

exp

m

2h

_h

⁰

x^2

du

-

-

1

h

_h

⁰

{

V[x(u)]

-

V[

x

]

du

}

Dx(u)

.

(10.59)

и рассмотрим интеграл по тракториям как среднее по траекториям x(u) от функции e^f, где

f

=-

_h

⁰

{

V[x(u)]

-

V[

x

]

}

du

h

(10.60)

и усреднение производится с весовой функцией exp[-(m/2h)x^2du] Заменив здесь среднее от экспоненты на экспоненту от среднего

e

^f

->

e

^f

,

(10.61)

мы тем самым внесли бы погрешность второго порядка по f, или, точнее, порядка разности между f^2 и f^2. В гл. 11 мы увидим, что можно определить знак этой погрешности (левая часть окажется больше правой).

Найдём среднее значение функции f для каждого x:

f

=

1

h

exp

-

m

2h

_h

⁰

x^2

du

_h

⁰

{

V[x(t)]

-

V[

x

]

}

dt

Dx(u)

(10.62)

в предположении, что начальная и конечная точки совпадают, а сама траектория соответствует ограничению, накладываемому равенством (10.50).

Для вычисления этого выражения рассмотрим несколько отличный, но связанный с ним интеграл

I(

x

)

=

exp

-

m

2h

_h

⁰

y^2

du

{

V[

x

+y(t)]

-

V[

x

]

}

Dy(u)

dY

,

(10.63)

где на траектории y(u) накладывается ограничение

y(0)

=

y(h)

=

Y;

_h

⁰

y(u)

du

=0.

(10.64)

Фиг. 10.1 Периодичность траекторий.

Все траектории, которые в момент t=h возвращаются в исходную точку, соответствующую моменту t=0, можно рассматривать как отрезки длины h периодических траекторий, период которых равен h.

Оказывается, что интеграл I(x) не зависит от t. Убедиться в этом можно при помощи следующего рассуждения. Предположим, что каждая траектория в этом интеграле не является конечной, а представляет собой, как показано на фиг. 10.1, отрезок длины h периодической траектории, период которой тоже равен h. Из всего семейства таких траекторий рассмотрим две: y(t) и y₁(t)=y(t₁+t), как это показано на фиг. 10.2. Точка y(t₁) на первой траектории, отвечающая моменту t=t₁ на второй траектории соответствует моменту t=0, т.е. y₁(0)=y(t₁). Кроме того, для любого другого момента t_i в этом семействе отыщется аналогичная функция y_i(t), для которой y_i(0)=y(t_i), и все такие траектории дадут одинаковый вклад в интеграл

_h

⁰

y^2

du

.

Все эти рассуждения применимы, конечно, к каждой траектории, учитываемой в интеграле (10.63). Поэтому, не ограничивая общности рассуждений, можно положить в интеграле t=0, а это равносильно утверждению, что данный интеграл не зависит от переменной t.

Фиг. 10.2. Выбор начального момента.

Предположим, что одна из «периодических» траекторий y(t), показанных на фиг. 10.1, имеет при t=t₁ значение y(t₁). Тогда совокупность всех «периодических» траекторий должна содержать эту же траекторию, сдвинутую влево на расстояние t₁, [т.е. y(t+t₁)] и принимающую при t=t₁, то же значение, что и в момент t=0. Поэтому интеграл, усреднённый по всем таким траекториям, не должен зависеть от выбора начального момента t=0.

Задача 10.5. Используя метод, кратко описанный в задаче 10.2, покажите, что величины f и I(x) связаны соотношением

I(

x

)

=

12m

2h^2

1/2

^-

[V(

x

+Y)-V(

x

)]

e

^{-6Y^2m/h^2}

dY

=

f

.

(10.65)

Обозначим нашу приближённую функцию распределения через Z', а связанную с ней свободную энергию Гельмгольца через F', так что Z'=e^-F'. Тогда, применяя результаты задачи 10.5 и соотношение (10.61), получаем

Z'

=

(exp{

-[V(

x

)+I(

x

)]

})

d

x

exp

-

m

2h

_h

⁰

x^2

du

Dx(u)

.

(10.66)

Входящий в это выражение интеграл по траекториям уже вычислялся раньше; он имеет вид (10.46). Таким образом, можно записать

e

^-F'

=

mkT

2h^2

1/2

e

^-U(x)

d

x

,

(10.67)

где

U(

x

)

=

^-

V(

x

+y)

e

^{-6Y^2m/h^2}

dy

12m

2h^2

1/2

,

(10.68)

а потенциал V(x) в явном виде не встречается.