Квантовая механика и интегралы по траекториям

Квадрат модуля полной амплитуды мы интерпретируем как вероятность того, что соответствующее событие произойдёт. Например, вероятность попадания электрона в детектор

P=|

₁

+

₂

|^2.

(1.15)

Если мы прерываем развитие процесса ещё до его завершения, наблюдая состояние частиц в ходе события, то тем самым изменяем вид выражения для полной амплитуды. Так, если установлено, что система находится в некотором определённом состоянии, то тем самым мы исключаем возможность того, чтобы она оказалась в каком-либо другом состоянии, и при вычислении полной вероятности амплитуды, связанные с такими исключёнными состояниями, уже нельзя рассматривать в качестве альтернатив. Например, если с помощью какого-нибудь устройства определить, что электрон проходит именно через отверстие 1, то амплитуда его попадания в детектор будет точно равна ₁. Совершенно неважно, будем ли мы (в тот момент, когда работает измеряющее устройство) фактически наблюдать и записывать результат наблюдения или же нет. Очевидно, что при желании его можно было бы узнать в любое время. Уже одного вмешательства измеряющего устройства достаточно, чтобы изменить систему и соответствующую амплитуду полной вероятности.

Это последнее обстоятельство и составляет основу принципа неопределённости Гейзенберга, который утверждает, что существует естественный предел точности любого эксперимента и любого усовершенствования измерений.

Структура амплитуды вероятности. Амплитуда вероятности всякого события представляет собой сумму амплитуд различных альтернативных возможностей осуществления этого события. Это позволяет изучать её многими различными способами в зависимости от того, на какие классы можно подразделить альтернативы. Наиболее детальная картина получается при условии, что частица при переходе из состояния A в состояние B за данный промежуток времени совершает вполне определённое движение (т.е. определённым образом изменяет свои координаты в зависимости от времени), описывая конкретную траекторию в пространстве и времени. С каждым таким возможным движением мы будем связывать одну амплитуду; полная же амплитуда вероятности будет суммой вкладов от всех траекторий.

Эту мысль можно пояснить, продолжив рассмотрение нашего эксперимента с двумя отверстиями. Пусть между источником и отверстием помещена пара дополнительных экранов D и E (фиг. 19). В каждом из них проделаем по нескольку отверстий, которые обозначим D₁, D₂, … и E₁, E₂, … . Для простоты будем предполагать, что движение электронов происходит в плоскости (x, y). В таком случае имеется несколько альтернативных траекторий, которые может выбрать электрон при своём движении от источника к отверстию в экране B. Он мог бы направиться сначала к отверстию D₂, далее к E₃ и затем к отверстию 1 или же мог бы, выйдя из источника, пролететь через D₃, затем через E₃ и, наконец, через отверстие 1 и т.д. Каждой из этих траекторий соответствует своя собственная амплитуда, и полная амплитуда вероятности будет их суммой.

Фиг. 1.9. Опыт с несколькими отверстиями в экранах.

Когда в экранах D и E, помещённых между источником на экране A и конечной точкой на экране C, проделано несколько отверстий, для каждого электрона имеется несколько альтернативных траекторий. Каждой из этих траекторий соответствует своя амплитуда вероятности. Чтобы определить результат какого-либо эксперимента, в котором открыты все отверстия, необходимо просуммировать все эти амплитуды по одной для каждой возможной траектории.

Предположим теперь, что мы увеличиваем число отверстий в экранах D и E до тех пор, пока от экранов ничего не останется. Траектория электрона должна определяться в этом случае высотой x_D, на которой электрон пересекает несуществующий экран D, расположенный от источника на расстоянии y_D, а также высотой x_E и расстоянием y_E, как это показано на фиг. 1.10. Каждой паре значений x_D и x_E здесь соответствует своя амплитуда. Принцип суперпозиции по-прежнему остаётся в силе, и мы должны взять сумму (теперь уже интеграл) этих амплитуд по всем возможным значениям x_D и x_E.

Фиг. 1.10. Число отверстий стремится к бесконечности.

В экранах, расположенных на расстояниях y_D и y_E от экрана A, проделывается все большее и большее число отверстий. В конце концов экраны полностью заполняются отверстиями, и получается непрерывная область точек вверх и вниз от центров экранов, в которых электрон может пересекать линию экрана. В этом случае сумма альтернатив превращается в двойной интеграл по непрерывным параметрам x_D и x_E — альтернативным высотам, на которых электрон пересекает экраны.