Читаем Квантовая механика и интегралы по траекториям полностью

Квантовая механика и интегралы по траекториям

В этой главе мы намерены завершить построение нерелятивистской квантовой механики, начатое нами в гл. 1. Мы уже отметили, что для каждой траектории существует своя амплитуда вероятности; теперь мы установим вид этой амплитуды. Для простоты ограничимся пока случаем одномерного движения частицы. Пусть её положение в любой момент времени t может быть определено координатой x; под траекторией будем понимать тогда функцию x(t).

Если частица в начальный момент времени t_a начинает движение из точки x_a и приходит в конечную точку x_b в момент времени t_b, то будем просто говорить, что частица движется из a в b, а функция x(t) обладает свойством x(t_a) = x_a, x(t_b) = x_b.

Тогда в квантовомеханическом описании получим амплитуду вероятности перехода из точки a в точку b, называемую обычно ядром, которую обозначим через K(b,a). Эта амплитуда будет суммой вкладов от всех возможных траекторий между точками a и b в противоположность классической механике, где две точки соединяет одна и только одна так называемая классическая траектория. Последнюю будем обозначать как x(t). Прежде чем перейти к формулировке законов для квантовомеханического случая, вспомним ситуацию, которая имеет место в классической механике.

§ 1. Действие в классической механике

Одним из наиболее изящных способов выразить условия, выделяющие из всех возможных траекторий определённую траекторию x(t), является принцип наименьшего действия. Допустим, что существует некоторая величина S, которую можно вычислить для каждой траектории. Классическая траектория x — это та, для которой S принимает минимальное значение. Фактически используют только условие экстремальности действия; иными словами, значение S в первом приближении не изменится, если незначительно отступить от траектории x(t).

Величина S задаётся выражением

t_b

t_a

(x,x,t)dt

(2.1)

где L — лагранжиан системы. Для частицы с массой m, движущейся в потенциальном поле V(x,t), которое является функцией координаты и времени, лагранжиан запишется как

x^2-V(x,t)

(2.2)

Вид экстремальной траектории x(t) находится с помощью обычных вариационных методов. Допустим, например, что траектория отличается от x на величину x(t). Условие того, что конечные точки траектории x фиксированы, требует, чтобы

x(t

)=0.

(2.3)

Условие экстремальности для S, соответствующего классической траектории x, означает, что

S=S[

+x]-

]=0

(2.4)

с точностью до первого порядка малости по x. Используя определение (2.1), мы можем далее написать

S[x+x]

t_b

t_a

L(x+x,x+x,t)dt=

t_b

t_a

L(x,x,t)+x

dt=

S[x]+

t_b

t_a

dt.

(2.5)

После интегрирования по частям вариация S примет вид

S=x

t_b

t_a

t_b

t_a

dt.

(2.6)

Так как на концах траектории x = 0, то первый член в правой части этого выражения равен нулю. В промежуточных точках x может принимать произвольное значение; поэтому экстремальное значение S отвечает той траектории, в каждой точке которой всегда выполнено равенство

=0.

(2.7)

Это и есть классическое уравнение движения в лагранжевой форме.

В классической механике важен вид интеграла S=Ldt, а не его экстремальное значение S_кл. Это обусловлено тем, что для определения траектории, соответствующей наименьшей величине действия, необходимо знать действие S для всего семейства близколежащих траекторий.

В квантовой механике важны как сам вид интеграла S, так и его значение в точке экстремума. Вычислим экстремальное значение S для нескольких случаев.

Задача 2.1. Для свободной частицы лагранжиан L=mx^2/2. Покажите, что действие, соответствующее классическому движению такой частицы,

_кл

(x_b-x_a)^2

t_b-t_a

(2.8)

Задача 2.2. Лагранжиан гармонического осциллятора L=(m/2)(x^2-x^2). Покажите, что классическое действие

_кл

2sin T

) cos T-2x

(2.9)

где T=t_b-t_a.