Квантовая механика и интегралы по траекториям

Теперь мы можем сформулировать квантовомеханическое правило вычисления амплитуды вероятности. Для этого необходимо установить, какой вклад вносит каждая траектория в полную амплитуду перехода из точки a в точку b. Дело в том, что вклад дают сразу все траектории, а не только та, которая соответствует экстремальному действию. При этом вклады отдельных траекторий равны по величине, но различаются значением фазы; фаза данного вклада будет равна действию S для этой траектории, выраженному в единицах кванта действия h. Таким образом, подводим итог: вероятность P(b,a) перехода частицы из точки x_a, где она находилась в момент времени t_a, в точку x_b, соответствующую моменту времени t_b, равна квадрату модуля амплитуды перехода P(b,a)=|K(b,a)|^2. Эта амплитуда представляет собой сумму вкладов [x(t)] от каждой траектории в отдельности, т.е.

K(b,a)=

[x(t)]

по всем

возможным

переходам

из a в b

(2.14)

где суммирование выполняется по всем траекториям, соединяющим точки a и b. Фаза вклада каждой траектории пропорциональна действию S:

[x(t)]=const·e

^(i/h)S[x(t)]

(2.15)

Действие S здесь то же самое, что и в случае соответствующей классической системы [см. выражение (2.1)]. Константу можно, выбрать из соображений удобства нормировки величины K; это мы сделаем после того, как более строго (с математической точки зрения) рассмотрим, что понимается под суммой по всем траекториям в соотношении (2.14).

§ 3. Классический предел

Прежде чем перейти к более строгому рассмотрению, сравним наше квантовое правило с классическим. С первого взгляда остаётся совершенно неясным, каким образом в классическом приближении наиболее важной окажется всего лишь одна траектория, тогда как из выражения (2.15) следует, что все траектории вносят в амплитуду одинаковый вклад, хотя и с различными фазами. Однако классическое приближение соответствует случаю, в котором размеры, массы, интервалы времени и другие параметры системы настолько велики, что действие S во много раз превосходит постоянную h= 1,05·10^-27 эрг·сек. В этом случае фаза S/h каждого парциального вклада представляет собой чрезвычайно большой угол. Действительная (или мнимая) часть функции равна косинусу (или синусу) этого угла и в равной степени может оказаться как положительной, так и отрицательной. Если теперь, как показано на фиг. 2.1, мы сдвинем траекторию на малую величину x (малую в смысле классических масштабов), то изменение действия S также будет небольшим в классическом смысле, однако отнюдь не малым при сопоставлении с величиной h. Эти небольшие изменения траектории будут, вообще говоря, приводить к огромным изменениям фазы, так что её косинус и синус совершают очень быстрые и частые колебания между положительными и отрицательными значениями. Таким образом, если одна траектория даёт положительный вклад, то другая, бесконечно близкая к ней (в классическом смысле), даёт такой же отрицательный вклад, так что в целом не возникает никакого вклада.

Фиг.2.1. Классическая траектория 1 [x=x(t)].

Это такая траектория, для которой интеграл действия S принимает минимальное значение. Если эта траектория изменяется на величину x(t) (траектория 2), то в первом приближении по x интеграл не претерпевает никаких изменений. Это и определяет уравнение движения.

В квантовой механике амплитуда вероятности перехода из точки a в точку b равна сумме амплитуд, соответствующих всем возможным траекториям. Амплитуда вероятности для заданной траектории, т.е. e^iS/h, имеет фазу, пропорциональную действию. Если действие очень велико по сравнению с постоянной Планка h то для близлежащих траекторий, таких, как 3 и 4, оно лишь незначительно отличается по своей величине, однако вследствие малости постоянной h различие в фазах в этих случаях будет очень большим. Вклады от таких траекторий взаимно уничтожаются. Только в непосредственной близости к классической траектории x(t), где варьирование траекторий лишь незначительно изменяет действие S, близлежащие траектории, такие, как 1 и 2, дают вклады с одинаковыми фазами, которые вследствие интерференции усиливают друг друга. Вот почему приближение классической физики, т.е. необходимость рассмотрения только одной траектории x(t), справедливо, когда действие S очень велико по сравнению с постоянной h.