Квантовая механика и интегралы по траекториям

Задача 2.6. Класс функционалов, на котором можно определить интегралы по траекториям, оказывается неожиданно широким. До сих пор мы рассматривали лишь функционалы типа (2.15). Теперь перейдём к рассмотрению совсем иного типа функционалов, возникающих в одномерной релятивистской задаче. Предположим, что движущаяся по прямой частица может перемещаться только вперёд и назад со скоростью света. Для удобства выберем такие масштабы измерений, чтобы скорость света, масса частицы и постоянная Планка равнялись единице. Тогда в плоскости (x,t) все траектории движения такого осциллятора имеют наклон ±/4, как показано на фиг. 2.4. Амплитуду, соответствующую одной из таких траекторий, можно определить следующим образом: разделим время на малые интервалы длиной и предположим, что изменение направления движения может происходить только на границе этих интервалов, т.е. в моменты времени t=t_a+n, где n — целое число. В такой релятивистской задаче амплитуда перехода вдоль рассматриваемой траектории отличается от амплитуды (2.15); правильным в данном случае будет выражение

=(i)

^R

,

(2.26)

где R — число точек поворота на траектории.

Фиг. 2.4. Траектория релятивистской частицы, движущейся в двух измерениях.

Это зигзагообразная линия с прямолинейными отрезками. Наклон прямых постоянен по величине и различается только знаком в обеих частях зигзага. Амплитуда вероятности для некоторой частной траектории, так же как и ядро, описывающее переход из точки a в точку b, зависит от числа поворотов R на траектории; это следует из выражений (2.26) и (2.27).

В качестве упражнения читатель может использовать это выражение для того, чтобы вычислить ядро K(b,a), суммируя вклады от траекторий с одной, двумя и т.д. точками поворота. Это даст

K(b,a)=

N(R)(i)

^R

,

^R

(2.27)

где N(R) — число возможных траекторий с R точками поворота. Лучше всего вычислять четыре отдельные величины K, а именно: K₊₊(b,a)— амплитуду перехода из точки a, где скорость частицы была положительной (т.е. направленной вдоль оси x), в точку b, в которой её скорость также положительна; K_+-(b,a) — амплитуду перехода из точки a, где частица имела отрицательную скорость, в точку b, куда частица приходит с положительной скоростью; аналогично определены амплитуды K_-+ и K_--.

Предположим теперь, что время измеряется в единицах h/mc^2. Покажите, что если интервал времени очень велик (t_b-t_a >> h/mc^2), а средняя скорость мала [x_b-x_a c(t_b-t_a)], то ядро [если не считать множителя exp (imc^2/h)(t_a-t_b)] совпадает с выражением для свободной частицы [см. (3.3)]. Приведённые здесь выражения амплитуды и ядра справедливы для одномерного движения свободной релятивистской частицы, и результат совпадает с решением уравнения Дирака для этого случая.

§ 5. Последовательные события

Правило для двух событий. В этом параграфе мы выведем важный закон сложения амплитуд вероятностей событий, которые происходят последовательно во времени. Предположим, что t_c — некоторый момент времени в промежутке между t_a и t_b. Тогда действие, соответствующее произвольной траектории между точками a и b, может быть записано как

S[b,a]=

S[b,c]+

S[c,a].

(2.28)

Это следует из определения действия как интеграла по времени от функции Лагранжа L, а также из того, что L не зависит от производных более высокого порядка, чем скорость. (В противном случае нам пришлось бы в точке c определять значения скорости и, возможно, производных более высокого порядка.) Используя равенство (2.25), которым определяется ядро, можно записать

K(b,a)=

exp

i

h

S[b,c]+

i

h

S[c,a]

Dx(t).

(2.29)

Фиг. 2.5. Вычисление суммы по траекториям.

Один из способов, которым может быть вычислена сумма по всем траекториям, заключается в суммировании по всем траекториям, проходящим через точку x_c в момент времени t_c, и в последующем суммировании по точкам x_c.

Для каждой траектории, выходящей из точки a в точку b через c, амплитуда вероятности равна произведению двух сомножителей: 1) амплитуды перехода из точки a в точку c и 2) амплитуды перехода из точки c в точку b. Следовательно, это справедливо также и для суммы по всем траекториям, проходящим через точку c: полная амплитуда перехода из точки a в точку b через c равна K(b,c)K(c,a). Поэтому полную амплитуду перехода из точки a в точку b, т.е. соотношение (2.31), мы получим путём суммирования по всем альтернативам (по всем значениям x_c).

Точка c разделяет любую траекторию на два участка. Как показано на фиг. 2.5, концами первого будут x_a и x_c=x(t_c), а концами второго — x_c и x_b. Можно проинтегрировать по всем траекториям между точками a и c, а потом по всем траекториям между точками c и b и, наконец, результат проинтегрировать по всем возможным значениям x_c. При выполнении первого интегрирования S[b,c] является постоянной. Поэтому результат можно записать в виде

K(b,a)=

x_c

b

c

e

^(i/h)S[b,c]

K(c,a)

Dx(t)

dx

_c

.

(2.30)