Квантовая механика и интегралы по траекториям

В этой главе мы получим выражения для ядер, соответствующих некоторым определённым видам движения. Чтобы развить физическую интуицию в отношении движения, подчиняющегося законам квантовой механики, мы будем всегда выявлять физический смысл получаемых математических выражений; здесь же введём волновую функцию и выясним её связь с ядром. Это явится первым шагом в установлении связи нашего подхода к квантовой механике с её более традиционными формулировками.

Рассмотрим также некоторые специальные математические методы вычисления суммы по траекториям. Понятие суммы по всем траекториям было введено в гл. 2 с помощью некоторого специального указания о том, как именно надо проводить вычисление. Хотя это указание, возможно, и разъясняет суть дела, тем не менее оно неудобно для практического пользования. В этой главе изложены более простые методы, которые будут широко применяться в дальнейшем.

Таким образом, настоящая глава преследует три цели: углубить наше понимание квантовомеханических принципов, установить связь между нашим и другими подходами к квантовой механике и, наконец, ввести некоторые полезные математические методы.

§ 1. Свободная частица

Интеграл по траекториям. Для вычисления ядра, соответствующего движению свободной частицы, мы применим здесь метод, использованный в гл. 2 при определении суммы по всем траекториям. Для свободной частицы лагранжиан равен

L=

mx^2

2

,

(3.1)

поэтому, учитывая выражения (2.21) — (2.23), мы можем записать ядро в виде

K(b,a)=

 

lim

^->0

…

exp

im

2h

_N

ⁱ⁼¹

(x

_i

-x

_i-1

)^2

x

x

dx

₁

…

dx

_N-1

.

2ih

m

-N/2

.

(3.2)

Выражение в правой части представляет собой цепочку гауссовых интегралов, т.е. интегралов вида

[exp(-ax^2)]dx

 или

[exp(-ax^2+bx)]dx.

Поскольку интеграл от функции Гаусса снова является такой же функцией, мы можем проинтегрировать по каждой из переменных и затем перейти к пределу. В результате получим

K(b,a)=

2ih(t_b-t_a)

m

- 1/2

exp

im(x_b-x_a)^2

2h(t_b-t_a)

.

(3.3)

Вычисления здесь выполнялись следующим образом. Прежде всего следует заметить, что

^-

2ih

m

- 1/2

exp

m

2ih

[(x

₂

-x

₁

)^2+(x

₁

-x

₀

)^2]

dx

₁

=

=

2ih·2

m

- 1/2

exp

m

2ih·2

(x

₂

-x

₀

)^2

.

(3.4)

Умножим это выражение на функцию

2ih

m

- 1/2

exp

m

2ih

(x

₃

-x

₂

)^2

(3.5)

и снова проинтегрируем, на этот раз по переменной x₂; получим результат, совпадающий с правой частью равенства (3.4), если не считать того, что бином (x₂-x₀)^2 заменяется на (x₃-x₀)^2, а величина 2 в двух местах заменяется на 3:

2ih·3

m

- 1/2

exp

m

2ih·3

(x

₃

-x

₀

)^2

.

Таким образом мы можем построить рекуррентный процесс, который после (n-1)-го шага даёт функцию

2ihn

m

- 1/2

exp

m

2ih·n

(x

_n

-x

₀

)^2

.

Поскольку n=t_n-t₀, то легко видеть, что результат (N-1)-го шага совпадает с выражением (3.3).

Существует и другой метод вычисления. Можно воспользоваться соотношением (3.4), чтобы выполнить интегрирование по всем переменным x_i с нечётным значением i (в предположении, что N чётное). Получим выражение, формально совпадающее с формулой (3.2), но содержащее вдвое меньше переменных интегрирования. Оставшиеся переменные определены в моменты времени, отделённые друг от друга интервалом 2. Следовательно, по крайней мере в случае, когда N можно представить как 2^k, выражение (3.3) получается после k таких шагов.

Задача 3.1. Вероятность того, что частица попадёт в точку b, по определению пропорциональна квадрату модуля ядра K(b,a). В случае движения свободной частицы, для которого ядро определяется выражением (3.3), эта вероятность

P(b)dx=

m

2h(t_b-t_a)

dx.

(3.6)

Ясно, что это относительная вероятность, так как интеграл по всем значениям x расходится. Что означает этот способ нормировки? Покажите, что он соответствует некоторому классическому движению, когда частица выходит из точки a с импульсом, все значения которого равновероятны. Покажите, что соответствующая относительная вероятность того, что импульс частицы лежит в интервале dp, равна dp/2h.

Импульс и энергия. Выясним теперь смысл ядра, описывающего свободное движение частицы. Для удобства выберем в качестве начала отсчёта пространственных координат и времени точку a. Тогда амплитуда перехода в некоторую другую точку b(x,t) будет иметь вид

K(x,t,0,0)=

2iht

m

e

^{imx^2/2ht}

- 1/2

.

Если момент фиксирован, то эта амплитуда изменяется с расстоянием так, как это показано на фиг. 3.1, где представлена действительная часть выражения (3.7).

Фиг. 3.1. Действительная часть амплитуды перехода в различные точки на расстоянии x от начала координат спустя время t.

Мнимая часть (не показана) представляет собой аналогичную волну, смещённую по фазе на 90°, так что модуль квадрата амплитуды — постоянная величина. Длина волны мала при больших x т.е. при таких значениях, которые классическая частица может достичь, лишь если она движется с большой скоростью. В общем случае длина волны и классический импульс обратно пропорциональны друг другу (см. формулу (3.10)].